Chủ đề này có 1 trả lời

[tuk19t]

1) tam giác ABC; CM:
$\sin A^{\sin B} + \sin B^{\sin C} + \sin C^{\sin A} > 1,19$
2) tam giác ABC không có góc tù; CM:
$\tan \dfrac{A}{2} + \tan \dfrac{B}{2} + \tan \dfrac{C}{2} + \tan \dfrac{A}{2}\tan \dfrac{B}{2}\tan \dfrac{C}{2} \ge \dfrac{{10\sqrt 3 }}{9}$
3) tam giác ABC; không có góc tù mà mỗi góc nhỏ hơn $\dfrac{\pi }{4}$;CM:
$cot A + cot B + cot C + 3cot Acot Bcot C \leq 4(2 - \sqrt {2)} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trauvang97: 28-07-2013 - 08:42

[trauvang97]

1) tam giác ABC; CM:
$\sin A^{\sin B} + \sin B^{\sin C} + \sin C^{\sin A} > 1,19$
2) tam giác ABC không có góc tù; CM:
$\tan \dfrac{A}{2} + \tan \dfrac{B}{2} + \tan \dfrac{C}{2} + \tan \dfrac{A}{2}\tan \dfrac{B}{2}\tan \dfrac{C}{2} \ge \dfrac{{10\sqrt 3 }}{9}$
3) tam giác ABC; không có góc tù mà mỗi góc nhỏ hơn $\dfrac{\pi }{4}$;CM:
$cot A + cot B + cot C + 3cot Acot Bcot C \leq 4(2 - \sqrt {2)} $

 

2) Đặt $a=tan\frac{A}{2},b=tan\frac{B}{2},c=tan\frac{C}{2}$. Vì $A,B,C$ là các góc không tù nên $0\leq a,b,c\leq 1$

 

Ta có các đẳng thức và bất đẳng thức quen thuộc sau:  $ab+bc+ca=1$ và $a+b+c\geq \sqrt{3}$

 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm $1-a, 1-b, 1-c$ ta có:

 

$(1-a)(1-b)(1-c)\leq \left ( 1-\left (\frac{a+b+c}{3} \right ) \right )^{3}$

 

Lại có: $(1-a)(1-b)(1-c)=1+ab+bc+ca-a-b-c-abc=2-(a+b+c+abc)$

 

Suy ra: $a+b+c+abc\geq 2-\left ( 1-\frac{\sqrt{3}}{3} \right )^{3}=\frac{10\sqrt{3}}{9}$

 

3) Giả sử $A=min { A,B,C } \Rightarrow \frac{\pi }{4}\leq A\leq \frac{\pi }{3}$

 

Ta có: $S=cotA+cotB+cotC+3cotA.cotB.cotC$

 

             $=cotA+cotB+cotC+3cotA(1-cotA(cotB+cotC))$

 

             $=4cotA+(1-3cot^{2}A)(cotB+cotC)$

 

Vì $A\leq \frac{\pi }{3}$ nên: $1-3cot^{2}A\leq 1-3cot^{2}\frac{\pi }{3}=0$

 

Vì $B,C\leq \frac{\pi }{2}$ nên: $cotB+cotC\geq 2cot\frac{B+C}{2}=2tan\frac{A}{2}$

 

Vậy $S\leq 4cotA+(1-3cot^{2}A).2tan\frac{A}{2}$

 

       $=4\left ( \frac{1-tan^{2}\frac{A}{2}}{2tan\frac{A}{2}} \right )+\left ( 1-3\left ( \frac{1-tan^{2}\frac{A}{2}}{2tan\frac{A}{2}} \right )^{2} \right ).2tan\frac{A}{2}$

 

       $=\frac{4-3\left ( 1-tan\frac{A}{2} \right )^{2}}{2tan\frac{A}{2}}$

 

Xét hàm: $f(x)=\frac{4-3(1-x)^{2}}{2x}$ xác định trên $\left [\sqrt{2}-1;\frac{1}{\sqrt{3}} \right ]$

 

Ta thấy $f(x)=-\frac{(3x^{2}-1)^{2}}{2x^{2}}<0$ nên $f(x)$ đơn điệu giảm trên $\left [ \sqrt{2}-1 ;\frac{1}{\sqrt{3}}\right ]$

 

Vậy $f(x)\leq f(\sqrt{2}-1), \forall x\in \left [ \sqrt{2}-1;\frac{1}{\sqrt{3}} \right ]$

 

Vì $\frac{\pi }{4}\leq A\leq \frac{\pi }{3}$ dẫn đến $\frac{\pi }{8}\leq \frac{A}{2}\leq \frac{\pi }{6}$ suy ra $ \sqrt{2}-1\leq tan\frac{A}{2}\leq \frac{1}{\sqrt{3}}$

 

Do đó: $S=f\left ( tan\frac{A}{2} \right )\leq f(\sqrt{2}-1)=4(2-\sqrt{2})$

 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác $ABC$ cân và góc ở đỉnh bằng $\frac{\pi }{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trauvang97: 28-07-2013 - 11:41