Cho $a, b, c$ là các số thực dương sao cho: $abc=1$. Cm:
$\sum\dfrac{1}{1+2a}\leq 1$
Bài nhỏ
Bắt đầu bởi HUYVAN, 17-02-2008 - 11:11
#2
Đã gửi 17-02-2008 - 11:49
Songohan
-
- Thành viên
-
- 181 Bài viết
Trung sĩ
$\sum\limits_{cyc} {\dfrac{1}{{1 + 2a}}} \ge 1,abc = 1$
$p = a + b + c,q = ab + bc + ca,r = abc = 1$
$\sum\limits_{cyc} {\dfrac{1}{{1 + 2a}} = \dfrac{{3 + 4p + 4q}}{{1 + 2p + 4q + 8r}}} \ge 1$
$ \Leftrightarrow p \ge 3(Cauchy).$
đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.
$p = a + b + c,q = ab + bc + ca,r = abc = 1$
$\sum\limits_{cyc} {\dfrac{1}{{1 + 2a}} = \dfrac{{3 + 4p + 4q}}{{1 + 2p + 4q + 8r}}} \ge 1$
$ \Leftrightarrow p \ge 3(Cauchy).$
đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.
#3
Đã gửi 17-02-2008 - 11:59
tuan101293
-
- Thành viên
-
- 999 Bài viết
Trung úy
Anh ơi,em tưởng đề là dấu $ \leq $$\sum\limits_{cyc} {\dfrac{1}{{1 + 2a}}} \ge 1,abc = 1$
$p = a + b + c,q = ab + bc + ca,r = abc = 1$
$\sum\limits_{cyc} {\dfrac{1}{{1 + 2a}} = \dfrac{{3 + 4p + 4q}}{{1 + 2p + 4q + 8r}}} \ge 1$
$ \Leftrightarrow p \ge 3(Cauchy).$
đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.
Cho $a, b, c$ là các số thực dương sao cho: $abc=1$. Cm:
$\sum\dfrac{1}{1+2a}\leq 1$
KT-PT
Do unto others as you would have them do unto you.
#4
Đã gửi 17-02-2008 - 12:01
tuan101293
-
- Thành viên
-
- 999 Bài viết
Trung úy
Anh ơi sai đề rồiCho $a, b, c$ là các số thực dương sao cho: $abc=1$. Cm:
$\sum\dfrac{1}{1+2a}\leq 1$
Phải là $ \geq $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuan101293: 17-02-2008 - 12:02
KT-PT
Do unto others as you would have them do unto you.
#5
Đã gửi 17-02-2008 - 13:18
phandung
-
- Thành viên
-
- 252 Bài viết
Thượng sĩ
Có cách ni cũng dc post lên cho hay
Giả sử $ \sum \dfrac{1}{2a+1}=1 $ khi đó $ \dfrac{1}{2b+1}+ \dfrac{1}{2c+1} = \dfrac{2}{1+2a} \geq 2. \sqrt{ \dfrac{1}{(1+2b)(1+2c)} } $ nhân 3 vế lại khi đó $abc \geq 1$ Bài toán dc giải
Giả sử $ \sum \dfrac{1}{2a+1}=1 $ khi đó $ \dfrac{1}{2b+1}+ \dfrac{1}{2c+1} = \dfrac{2}{1+2a} \geq 2. \sqrt{ \dfrac{1}{(1+2b)(1+2c)} } $ nhân 3 vế lại khi đó $abc \geq 1$ Bài toán dc giải
#6
Đã gửi 17-02-2008 - 20:10
HUYVAN
-
- Hiệp sỹ
-
- 1126 Bài viết
CTCVAK08
Ừ, đúng là sai đề!Anh ơi sai đề rồi
Phải là $ \geq $
Bài này thực ra chỉ là 1 đánh giá nhỏ trong bài toán khác.
Anh làm đến đoạn này thì bí, chưa thử nhưng ai dè sai!
#7
Đã gửi 17-02-2008 - 20:14
HUYVAN
-
- Hiệp sỹ
-
- 1126 Bài viết
CTCVAK08
Spam: Cách của chú giống anh đấy!Có cách ni cũng dc post lên cho hay
Giả sử $ \sum \dfrac{1}{2a+1}=1 $ khi đó $ \dfrac{1}{2b+1}+ \dfrac{1}{2c+1} = \dfrac{2}{1+2a} \geq 2. \sqrt{ \dfrac{1}{(1+2b)(1+2c)} } $ nhân 3 vế lại khi đó $abc \geq 1$ Bài toán dc giải
Thực ra bài toán anh giải như sau: Cho $a, b, c$ là các số thực dương sao cho $abc=1$. Cm:
$\sum\dfrac{1}{\sqrt{(1+2a)(1+2b)}}\leq 1$
#8
Đã gửi 20-02-2008 - 17:57
vuthanhtu_hd
-
- Hiệp sỹ
-
- 1189 Bài viết
Tiến sĩ Diễn Đàn Toán
Một cách khác:
Đặt a=$y/x$;b=$z/y$;c=$x/z$ ta có
VT= $ \sum \dfrac{y}{x+2y} $
=$ \sum \dfrac{y^2}{x^2+2xy} $
$ \dfrac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2} $ =1 (BDT Cauchy-Schwarz)
Đặt a=$y/x$;b=$z/y$;c=$x/z$ ta có
VT= $ \sum \dfrac{y}{x+2y} $
=$ \sum \dfrac{y^2}{x^2+2xy} $
$ \dfrac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2} $ =1 (BDT Cauchy-Schwarz)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 20-02-2008 - 17:59
Nếu một ngày bạn cảm thấy buồn và muốn khóc,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi không hứa sẽ làm cho bạn cười nhưng có thể tôi sẽ khóc cùng với bạn.
Nếu một ngày bạn muốn chạy chốn tất cả hãy gọi cho tôi.
Tôi không yêu cầu bạn dừng lại nhưng tôi sẽ chạy cùng với bạn.
Và nếu một ngày nào đó bạn không muốn nghe ai nói nữa,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi sẽ đến bên bạn và chỉ im lặng.
Nhưng nếu một ngày bạn gọi đến tôi mà không thấy tôi hồi âm...
Hãy chạy thật nhanh đến bên tôi vì lúc đó tôi mới là người cần bạn.
________________________________________________________
Vu Thanh Tu, University of Engineering & Technology
#9
Đã gửi 20-02-2008 - 21:28
Songohan
-
- Thành viên
-
- 181 Bài viết
Trung sĩ
cái này không khó.Một cách khác:
Đặt a=$y/x$;b=$z/y$;c=$x/z$ ta có
VT= $ \sum \dfrac{y}{x+2y} $
=$ \sum \dfrac{y^2}{x^2+2xy} $
thử giải bài này xem, nó bài anh hungkhtn ra cho mấy em THCS đó. (Vậy là mình còn ngu hơn bọn THCS, chán thiệt)Spam: Cách của chú giống anh đấy!
Thực ra bài toán anh giải như sau: Cho $a, b, c$ là các số thực dương sao cho $abc=1$. Cm:
$\sum\dfrac{1}{\sqrt{(1+2a)(1+2b)}}\leq 1$
#10
Đã gửi 21-02-2008 - 10:50
HUYVAN
-
- Hiệp sỹ
-
- 1126 Bài viết
CTCVAK08
Bài này ra cho THCS mà có em nào giải được đâu, mãi mới có bác SV Lâm post lời giải lên.thử giải bài này xem, nó bài anh hungkhtn ra cho mấy em THCS đó. (Vậy là mình còn ngu hơn bọn THCS, chán thiệt)
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
