Chủ đề này có 14 trả lời

[Songohan]

Cho $a,b,c > 0;ab + bc + ca = 1$
Cmr:$2(a + b + c)^3 - 7(a + b + c) + 9abc \ge 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 4232: 17-02-2008 - 11:56

[vo thanh van]

hj`,bài này đặt $p=a+b+c,q=ab+bc+ca=1,r=abc$.Ta có $p^2\geq 3q=3$Ta cần cm:$2p^3-7p+9r\geq 0(1)$
Áp dụng BDT Schur,ta có: $9r\geq p(4q-p^2)=p(4-p^2)$
$\Rightarrow (1) \Leftrightarrow 2p^3-7p+4p-p^3\geq 0 \Leftrightarrow p^3\geq 3p$(đúng) $\Rightarrow dpcm$

[chuyên chế]

[quote name='4232' date='Feb 17 2008, 11:55 AM' post='179600']
Cho $a,b,c > 0;ab + bc + ca = 1$
Cmr:$2(a + b + c)^3 - 7(a + b + c) + 9abc \ge 0$
[/quote


(a+b+c)^3= a^3+b^3+c^3 + 3ab(a+b)+3bc(b+c)+3ca(c+a) +6abc
2(a+b+c)^3 - 7(a + b + c) + 9abc=2(a^3+b^3+c^3 )+ 6ab(a+b)+6bc(b+c)+6ca(c+a) - 7(a + b + c)+ 21abc = 2(a^3+b^3+c^3) - 7(a + b + c) +6ab(a+b+c)+6bc(a+b+c)+6ca(a+b+c)+3abc= 2(a^3+b^3+c^3)- 7(a + b + c) +6(ab+bc+ca)(a+b+c)+3abc= 2(a^3+b^3+c^3) - (a + b + c) +3abc
BĐT 2(a^3+b^3+c^3) +3abc a+b+c
Ta có
2(a^3+b^3+c^3) ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) (vì x^3+y^3 (x+y)xy )
VT ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) +3abc= (ab+bc+ca)(a+b+c)=a+b+c=VP
có đpcm

[Songohan]

cho $p=a + b + c;q=ab + bc + ca;r = abc = 1$
Cmr $p^2 q^2 + 19pq - 4p^3 - 4q^3 - 28 \ge 0$

[chicken_run]

chuyên chế làm cách trâu bò wé, chịu ko nổi

[Songohan]

cho $p=a + b + c;q=ab + bc + ca;r = abc = 1$
Cmr $p^2 q^2 + 19pq - 4p^3 - 4q^3 - 28 \ge 0$

Không ai làm bài này à.

[vo thanh van]

hj`,bì này cũng dễ,tuy nhiên số $28$ thì chưa phải là tốt nhất,mình cm BDT manh hơn sau:
$p^2q^2+19pq-4p^3-4q^3-36\geq 0$
Bất đẳng thức trên được viết lại như sau:
$(p^2-4q)(q^2-4p)+3pq-36\geq 0$
Mặt khác,theo BDT schur,ta có:$\dfrac{9}{p}\geq 4q-p^2$
$\Rightarrow VT\geq \dfrac{-9}{p}(q^2-4p)+3pq-36=36p-9q^2+3p^2q-36p\geq 0 \Leftrightarrow p^2\geq 3q (dung) \Rightarrow dpcm$

[Songohan]

Cậu làm như thế này
$p^2 - 4q \ge - \dfrac{9}{p}$
Sau đó cậu nhân 2 vế với $q^2-4p$, cậu ra được đpcm
nhưng $q^2-4p$ cái này đâu phải luôn dương đâu. Ví dụ a=b=c=1.

[vo thanh van]

Uh,nếu vậy thì đến đó mình xét 2 TH:
$q^2\geq 4p$ và $q^2< 4p$
hehe,để về nhà làm lại xem sao

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo thanh van: 21-02-2008 - 11:45

[Sao_bang_lanh_gia]

Em có 1 bài này mọi người thử xem
Cho x,y,z>0,x+y+z=1
Tìm min: A= $x^2+y^2+z^2+4xyz$

[Songohan]

Em có 1 bài này mọi người thử xem
Cho x,y,z>0,x+y+z=1
Tìm min A=$x^2+y^2+z^2+4xyz$



Theo bđt Cauchy $p{}^3 = 1 \ge 27r$
Theo bđt Schur $p^3 - 4pq + 9r \ge 0 \Rightarrow 1 - 2q \ge - \dfrac{9}{2}r + \dfrac{1}{2}$
Ta có $A = 1 - 2q + 4r \ge - \dfrac{r}{2} + \dfrac{1}{2} \ge \dfrac{{13}}{{27}}$
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=$\dfrac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 4232: 22-02-2008 - 12:09

[Sao_bang_lanh_gia]

Em có 1 bài này mọi người thử xem
Cho x,y,z>0,x+y+z=1
Tìm min A=$x^2+y^2+z^2+4xyz$
Theo bđt Cauchy $p{}^3 = 1 \ge 27r$
Theo bđt Schur $p^3 - 4pq + 9r \ge 0 \Rightarrow 1 - 2q \ge - \dfrac{9}{2}r + \dfrac{1}{2}$
Ta có $A = 1 - 2q + 4r \ge - \dfrac{r}{2} + \dfrac{1}{2} \ge \dfrac{{13}}{{27}}$
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=$\dfrac{1}{3}$

Lời giải của bạn khá rắc rối đối với 1 bài thế này .Bạn nào có chách hay hơn không
(gợi ý chỉ dùng Côsi hay Bunnhia cũng được ,không cần dùng đến Schur)

[chuyên chế]

Lời giải của bạn khá rắc rối đối với 1 bài thế này .Bạn nào có chách hay hơn không
(gợi ý chỉ dùng Côsi hay Bunnhia cũng được ,không cần dùng đến Schur)

Tớ có cách này:

CM bổ đề : với mọi a,b,c dương ta có
(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) 8abc
Thật vậy
nếu tồn tại 2 thừa số âm chẳng hạn (a+b-c) ,( b+c-a) thi 2c là số âm(loại)
nếu tồn tại chỉ 1 hoặc 3 thừa số âm VT âm nhỏ hơn 8abc(đpcm)
nếu cả 3 số dương dùng Cauchy là có đpcm

Áp dụng bổ đề vào đk bài ra a+b+c=1 có
(1-2a)(1-2b)(1-2c) 8abc 8/27
1 -2(a+b+c)+ 4(ab+bc+ca)-8abc 8/27
-4(ab+bc+ca)+8abc -28/27
-2(ab+bc+ca)+4abc -14/27


Có a^2 +b^2+c^2 +4abc =1- 2(ab+bc+ca)+4abc 1-14/27= 13/27
Min =13/27 dấu ĐT khi a=b=c=1/3

[Sao_bang_lanh_gia]

Bạn nào có chách thuần Côsi hoặc Bunhiacopski thì post lên .Còn các cách khác thì miễn bàn

[Sao_bang_lanh_gia]

Bạn nào có chách thuần Côsi hoặc Bunhiacopski thì post lên .Còn các cách khác thì miễn bàn