Biết đa thức $a x^{3} +a x^{2} +cx +d $ ($a \neq 0$) có 3 nghiệm thực phân biệt. Hỏi đa thức $4(a x^{3} +a x^{2} +cx +d)(3ax+b)-(3a x^{2}+2bx+c)^{2} $ có bao nhiêu nghiệm ?
Edited by E. Galois, 09-12-2013 - 21:44.
Biết đa thức $a x^{3} +a x^{2} +cx +d $ ($a \neq 0$) có 3 nghiệm thực phân biệt. Hỏi đa thức $4(a x^{3} +a x^{2} +cx +d)(3ax+b)-(3a x^{2}+2bx+c)^{2} $ có bao nhiêu nghiệm ?
Edited by E. Galois, 09-12-2013 - 21:44.
Biết đa thức $a x^{3} +a x^{2} +cx +d $ ($a \neq 0$) có 3 nghiệm thực phân biệt. Hỏi đa thức $4(a x^{3} +a x^{2} +cx +d)(3ax+b)-(3a x^{2}+2bx+c)^{2} $ có bao nhiêu nghiệm ?
Mình nghĩ đa thức là $a x^{3} +b x^{2} +cx +d $
Đặt $f(x)=a x^{3} +b x^{2} +cx +d$. $f'(x)=3ax^{2}+2bx+c$
$f''(x)=2(3ax+b)$
$f'''(x)=6a$
$\Rightarrow 2f(x).f''(x)-(f'(x))^{2}=g(x)$
$\Rightarrow g'(x)=2f'(x).f''(x)+2f(x).f'''(x)-2f'(x).f''(x)=2f(x).f'''(x)=12a^{2}(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )$
$\alpha \neq \beta \neq \gamma$ và không mất tính tổng quát ta giả sử $\alpha < \beta < \gamma$
Kẻ bảng biến thiên ta có 3 giá trị của $g(x)$, đặt lần lượt là $g(\alpha ),g(\beta ),g(\gamma )$
Ta có: $g(\alpha ).g(\beta ).g(\gamma )< 0$
Nên phương trình cho ta hai nghiệm phân biệt.
Edited by henry0905, 10-12-2013 - 20:50.
Biết đa thức $a x^{3} +a x^{2} +cx +d $ ($a \neq 0$) có 3 nghiệm thực phân biệt. Hỏi đa thức $4(a x^{3} +a x^{2} +cx +d)(3ax+b)-(3a x^{2}+2bx+c)^{2} $ có bao nhiêu nghiệm ?
Đề bài nên sửa lại :
Biết đa thức $ax^3+bx^2+cx+d$ ($a\neq 0$) có 3 nghiệm thực phân biệt.Hỏi đa thức $4(ax^3+bx^2+cx+d)(3ax+b)-(3ax^2+2bx+c)^2$ có bao nhiêu nghiệm thực ?
Một cách giải khác :
Đặt $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d ; h(x)=f'(x)=3ax^2+2bx+c$ ;
Gọi 3 nghiệm phân biệt của $f(x)$ là $x_{1},x_{2},x_{3}$ ---> $ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})$
Vì $f(x)$ có 3 nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2},x_{3}$ nên các giao điểm của đồ thị của $f(x)$ với $Ox$ không phải là tiếp điểm ---> $h(x_{1}),h(x_{2}),h(x_{3})$ đều khác $0$ (*)
Đặt $g(x)=4(ax^3+bx^2+cx+d)(3ax+b)-(3ax^2+2bx+c)^2$ $\Rightarrow g'(x)=12a(ax^3+bx^2+cx+d)=12a^2(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})$
$g'(x)=0\Leftrightarrow x=x_{1}$ hoặc $x=x_{2}$ hoặc $x=x_{3}$
---> Tung độ $3$ điểm cực trị là :
$g(x_{1})=-[h(x_{1})]^2< 0$ ; $g(x_{2})=-[h(x_{2})]^2< 0$ ; $g(x_{3})=-[h(x_{3})]^2< 0$ (vì $h(x_{1}),h(x_{2}),h(x_{3})\neq 0$)
Mặt khác $g(x)$ là hàm bậc bốn có dạng $Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx+E$ với $A=3a^2> 0$ $\Rightarrow \lim_{x\rightarrow\ \pm \infty}g(x)=+\infty\Rightarrow$ đồ thị của $g(x)$ có $2$ cực tiểu, $1$ cực đại và đi lên xa vô tận về 2 phía (phải và trái).
Vì tung độ 3 điểm cực trị đều âm ---> $g(x)$ có đúng $2$ nghiệm thực phân biệt.
Edited by chanhquocnghiem, 11-12-2013 - 07:26.
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
Đề bài nên sửa lại :
Biết đa thức $ax^3+bx^2+cx+d$ ($a\neq 0$) có 3 nghiệm thực phân biệt.Hỏi đa thức $4(ax^3+bx^2+cx+d)(3ax+b)-(3ax^2+2bx+c)^2$ có bao nhiêu nghiệm thực ?
Một cách giải khác :
Đặt $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d ; h(x)=f'(x)=3ax^2+2bx+c$ ;
Thực ra là một cách giải thôi, vì bạn cũng sử dụng đạo hàm, còn cái bạn giải thích là bảng biến thiên.
Edited by henry0905, 10-12-2013 - 22:15.
0 members, 1 guests, 0 anonymous users