3 replies to this topic

[math_galois]

Cho a,b,c 0 và a+b+c=1. CMR:
ab+ac+bc - 2abc $ \dfrac{7}{27}$

Edited by math_galois, 23-03-2008 - 21:43.

[Songohan]

Đọc nhầm đề mà cái đề cũng nhầm dấu

$p = a + b + c,q = ab + bc + ca,r = abc$
$1 = p^2 \ge 3q,1 = p^3 \ge 27r$
$a^2 + b^2 + c^2 - 2abc - \dfrac{7}{{27}} = p^2 - 2q - 2r - \dfrac{7}{{27}} = \dfrac{{20}}{{27}} - 2q - 2r = 2(\dfrac{1}{3} - q) + 2(\dfrac{1}{{27}} - r) \ge 0$

Edited by 4232, 21-03-2008 - 15:35.

[math_galois]

thôi rồi, nhầm cả cái đề chứ ko chỉ nhầm dấu. xin lỗi mí bạn nha

[Songohan]

theo bđt Schur
$a(a - b)(a - c) + b(b - a)(b - c) + c(c - a)(c - b) \ge 0$
tương đương với
$p^3 - 4pq + 9r \ge 0 \Leftrightarrow 4q - 9r - 1 \le 0 \Leftrightarrow q \le \dfrac{1}{4}(9r + 1)$
theo AM-GM
$1 = p^3 \ge 27r$
ta có
$q - 2r \le \dfrac{1}{4}(9r + 1) - 2r = \dfrac{1}{4}r + \dfrac{1}{4} \le \dfrac{1}{4}\dfrac{1}{{27}} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{7}{{27}}$