Chủ đề này có 1 trả lời

[tanpham90]

Đề thi chọn đội tuyển Việt Nam Ngày 2 (30/3/2008)


Bài 1 :

Cho $m$ và $n$ là các số nguyên dương . Chứng minh rằng $(2m+3)^n+1 \vdots (6m) \Leftrightarrow (3^n+1) \vdots (4m)$

Bài 2 :

Tam giác $ABC$ có phân giác $AD$ , $BE$ , $CF$ , $k$ là số thực dương cho trước . Trên $AD$ , $BE$ , $CF$ lần lượt lấy các điểm $L$ , $M$ , $N$ sao cho $\large \dfrac{AL}{AD}=\dfrac{BM}{BE}=\dfrac{CN}{CF}=k$ . $(O_1)$ là đường tròn qua $A$ , $L$ và tiếp xúc với $OA$ tại $A$ với $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ . $(O_2)$ , $(O_3)$ cũng xác định tương tự

a) Cho $k=1/2$ chứng minh $(O_1)$ , $(O_2)$ , $(O_3)$ cùng đi qua $2$ điểm và hai điểm đó cùng đi qua trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$

b) Với giá trị nào của $\large k>0 $để $(O_1)$ , $(O_2)$ , $(O_3)$ cùng đi qua $2$ điểm .

Bài 3 :
Cho $M$ là tập hợp của $2008$ số nguyên dương đầu tiên , mỗi số đó được tô bởi một trong $3$ màu : xanh , đỏ và vàng , và mỗi màu thì được tô ít nhất một số , xét $2$ tập :

$A=$ { $(x,y,z)$ thuộc $M$ mà $x$ , $y$ , $z$ tô cùng màu , $x+y+z$ chia hết cho $2008$ }

$B=$ { $(x,y,z)$ thuộc $M$ mà $x$ , $y$ , $z$ tô khác màu nhau , $x+y+z$ chia hết cho $2008$ }

Trong bộ $(x,y,z)$ thì $x$ , $y$ , $z$ không nhất thiết phân biệt

Chứng minh rẳng : Số phần tử của $B$ nhỏ hơn $2$ lần số phần tử của $A$

[dtdong91]

Ngày 1

Bài 1: Trên mp cho góc Oxy . Xét điểm M thay đổi trên tia Ox và N thay đổi trên tia Oy.Kí hiệu d là đường phân giác ngoài của góc xOy và gọi I là giao điểm của d với đường trung trực của đoạn thẳng MN . Trên d lấy 2 điểm P,Q sao cho IP=IQ=IM=IN . Gọi K là giao điểm các đường thằng MQ và NP.
1/ CMR K luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi M,N di động.
2/ Xét các điểm M,N trên các tia Ox,Oy sao cho đường thằng $ d_1 \perp IM$ tại M và đường thằng $ d_2 \perp IN$ tại N đều cắt đường thằng d . CMR các đường thằng EN , FM và OK đồng quy.
Bài 2: Hãy xác định tất cả các số nguyên dương m sao cho tồn tại các đa thức với hệ số thực P(x),Q(x),R(x,y)t/mãn điều kiện: với mọi số thực a,b mà $ a^m-b^2=0$ ta luôn có
$ P(R(a,b))=a$và $ Q(R(a,b))=b$
Bài 3: Cho số nguyên n >3 . Kí hiệu tập T là tập gồm n số nguyên dương đầu tiên . Một tập con S của T được gọi là tập khuyết trong T nếu S có tính chất: Tồn tại số nguyên dương $ c \ge \dfrac{n}{2}$sao cho với $ s_1,s_2$ bất kỳ thuộc S ta luôn có $ |s_1-s_2| \neq c$. Tìm giá trị lớn nhất lực lượng của S.