13 replies to this topic

[t_toan]

Bài 1: Giải hệ phương trình:

$2^x-2=3y-3^y$
$3^x-3x=2-2^y$

Bài 2: Cho dãy số ${U_n}$ được xác định bởi:

$(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})U_n=\dfrac{2}{2n+1}$ với $n \in N*$

Chứng minh rằng:

$U_1+U_2+U_3+...+U_{2008}<\dfrac{1004}{1005}$

Bài 3: Cho tứ diện OABC vuông tại O. M là điểm thuộc miền tam giác ABC. Tìm GTNN của:

$\dfrac{MA^2}{OA^2}+\dfrac{MB^2}{OB^2}+\dfrac{MC^2}{OC^2}$

Bài 4: Cho phương trình:

$x+2x^2+3x^3+...+nx^n=\dfrac{3}{4}$

a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm duy nhất $x_n>0$.
b) Chứng minh tồn tại $limx_n$ hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

Bài 5: Cho hàm số f: Z --- $R^+ $thỏa mãn:

$f(m-1).f(m)+f(m).f(m+1) \geq 2f(m-1).f(m+1)$

Tìm tất cả các hàm $f(x)$ thỏa.

Edited by t_toan, 08-04-2008 - 12:16.

[MyLoveIs4Ever]

Solve bài hình nào ........... Bài 1 ko có gì

xét hệ trục $ Oxyz $ với $ A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c) $ và $ M(x_0,y_0,z_0) $
H là chân đường vuông góc kẻ từ $ O $ đến $ (ABC) $ khi đó $ H $ là trực tâm $ ABC $...

pt mặt phẳng của $ ABC $ là $ \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c} =1 $

Vì $ M \in (ABC) => \dfrac{x_0}{a}+\dfrac{y_0}{b}+\dfrac{z_0}{c} =1 $
áp dụng ta có
$ \sum \dfrac{MA^2}{OA^2} = (x_0^2+y_0^2+z_0^2)(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{z^2}) +1 $ ...... mà $ \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2} = \dfrac{1}{OH^2} $

Nên $ VT = \dfrac{OM^2}{OH^2}+1 \geq 2 $

Dấu "=" xảy ra khi $ M \equiv H $

Bài 2: thì CM $ u_n < \dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}} $
Bài 4 :
Xét $ f(0).f(1) < 0 $
$ f $ đồng biến
$ VT = \dfrac{x-(n+1)x^{n+1}+nx^{n+2}}{(1-x)^2} $
$ a= limx_n $ => $ \dfrac{a}{(1-a)^2} = \dfrac{3}{4} <=> a= \dfrac{1}{3} $

Hê ku bài 5 ko rõ đề

Edited by MyLoveIs4Ever, 06-04-2008 - 23:20.

[duca1pbc]

thật trùng hợp là bài hình ko gian thứ 3 lớp mình cũng kt hôm thứ 7.Ko bik duyên số thế nào nữa
Cách giải of me: áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác OAM:
$AM^2=OA^2+OM^2+2OA.OM.cosAOM$
tương tự cho các tam giác OBM và OCM
$BM^2=OB^2+OM^2+2OB.OM.cosBOM$
$CM^2=OC^2+OM^2+2OC.OM.cosCOM$

Khi đó: $ \sum \dfrac{AM^2}{OM^2}=3+\dfrac{OM^2}{OA^2}+\dfrac{OM^2}{OB^2}+\dfrac{OM^2}{OC^2}-2\dfrac{OM}{OA}cosAOM-2\dfrac{OM}{OB}cosBOM-2\dfrac{OM}{OC}cosCOM$
Chú ý là: $cos^2{AOM}+cos^2{BOM}+cos^2{COM}=1 $.Khi đó ta có Min=2

Edited by duca1pbc, 06-04-2008 - 23:47.

[Mashimaru]

Bài 4:
a. Đặt $f_n(x)=x+2x^2+...+nx^n$. Xét phương trình $f_n(x)=\dfrac{3}{4}$, ta có: $f_n(0)=0<\dfrac{3}{4}\<f_n(1)=1$ nên phương trình đã cho có nghiệm $x_n>0$ (đpcm).
b. Ta có: $f_n(x_n)=f_{n+1}(x_{n+1})=\dfrac{3}{4} \Rightarrow x_n+2x_n^2+...+nx_n^n=x_{n+1}+2x_{n+1}^2+...+(n+1)x_{n+1}^{n+1} \Rightarrow x_{n+1}<x_n$
Vậy $(x_n)$ là dãy giảm và bị chặn dưới bởi $0$ (theo câu a), suy ra $(x_n)$ hội tụ.

Tìm giới hạn như anh MyLoveIs4Ever là đúng rồi ^o^

Edited by Mashimaru, 06-04-2008 - 23:53.

[ctlhp]

bài hàm gọi $ n_{0}$ sao cho $ f(n_{0})$ min thì ta có $ f(n+1)=f(n)=f(n-1)$ nên hằng ??!!

[supermember]

Có lẽ bài hệ bị sai đề


Thường thì mấy đề thi Hsg ko cho vô nghiệm

Ta có 2 phương trình

$ 2^{x} + 2 = 3y - 3^{y} (1)$

Và $ 3^{x} + 3x = 2 - 2^{y}(2)$

Xét hàm $f(y) = 3y - 3^{y}$


$ f '(y) = 3 - ln3 . 3^{y} < 0 $ với mọi $y \geq 1$


Suy ra với $y \geq 1$ thì $f(y) < f(1) = 0 <2^{x} + 2 $

Suy ra $y<1$


Với $y \leq 0$
$ 2^{x} + 2 > 0 >3y - 3^{y}$ ( Do $3y \leq 0 , 3^{y} > 0$ ) (Tính Chất hàm mũ)


Vậy $0 < y < 1$


Nhưng với $0 < y < 1$ thì $ 3y - 3^{y} < 3.(1) - 3^{0} = 2 < 2^{x} +2 $



Nên hệ vô nghiệm


Y An Forever $ +\infty $

Edited by supermember, 07-04-2008 - 00:50.

[phi1991]

bài pt hàm hình như có vấn đề

[ctlhp]

uh có thể ko có min. thế thì ta làm thế này dễ thấy $ g(n)=\dfrac{1}{f(n)|$ thỏa mãn $ 2g(n)\geq g(n+1)+g(n-1)$. dễ cm hàm thỏa vây mà dương là tăng/ tức $ f(n)$ giảm.mà thấy kỳ tại vì ko có câu hỏi ko biết cho xong làm j ^__^

[H.Quân- ĐHV]

Bài 4 :
Xét $ f(0).f(1) < 0 $
$ f $ đồng biến
$ VT = \dfrac{x-(n+1)x^{n+1}+nx^{n+2}}{(1-x)^2} $
$ a= limx_n $ => $ \dfrac{a}{(1-a)^2} = \dfrac{3}{4} <=> a= \dfrac{1}{3} $

bài này quá quen rồi !

thực ra $ f_n(\dfrac{1}{3} ) <0 $ nên $x_{n} \in (\dfrac{1}{3} , 1) .$
xét $| f_n( x_n) - f_n(\dfrac{1}{3} ) | = |x_n - \dfrac13 | f'(m) $ mà $|f_n( x_n) - f_n(\dfrac{1}{3} )| $= $\dfrac{ 2n+ 3}{2 3^n}.$ và$ f'(m) > 1 $ , lim $\dfrac{ 2n+ 3}{2 .3^n}= 0.$ vậy $lim x_n = \dfrac13$

[t_toan]

Tui sửa cái đề lại rồi đó. Hi.

[phi1991]

bai hpt khong phai vo nghiem dau ban oi
Đay là bài giải của mình
dau tien chuyen cac ẩn x,y về các vế ròi cộng vế theo vế
hàm đồng biến suy ra x=y
suy ra 2^x+3^x=3x+2
neu x 1 hoac x 0 thi VT VP
con neu x lon hon 0 be hon 1 thi VT be hon vp
den day dùng BĐt becnuli suy ra x=1 hoac x=0
vay nghiem là (0;0) ;(1;1)

[phi1991]

ai solve bai pt hàm đi

[ctlhp]

giai roi do.ham sao cho 1/f thoa cai bdt va giam+ duong

[H.Quân- ĐHV]

thật trùng hợp là bài hình ko gian thứ 3 lớp mình cũng kt hôm thứ 7.Ko bik duyên số thế nào nữa
Cách giải of me: áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác OAM:
$AM^2=OA^2+OM^2+2OA.OM.cosAOM$
tương tự cho các tam giác OBM và OCM
$BM^2=OB^2+OM^2+2OB.OM.cosBOM$
$CM^2=OC^2+OM^2+2OC.OM.cosCOM$

Khi đó: $ \sum \dfrac{AM^2}{OM^2}=3+\dfrac{OM^2}{OA^2}+\dfrac{OM^2}{OB^2}+\dfrac{OM^2}{OC^2}-2\dfrac{OM}{OA}cosAOM-2\dfrac{OM}{OB}cosBOM-2\dfrac{OM}{OC}cosCOM$
Chú ý là: $cos^2{AOM}+cos^2{BOM}+cos^2{COM}=1 $.Khi đó ta có Min=2

cách gì mà khủng thế !


lời giải


đặt $OA =a , OB = b ,OC = c $ khi đó $OA ^2 = AB ^2 + AC^2 - BC^2 $.
gọi$ H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ thế thì $ \sum \dfrac{ \vec{HA} }{ AB ^2 + AC^2 - BC^2 } = 0$
dùng đl lepnhip là đc