4 replies to this topic

[MyLoveIs4Ever]

CMR nếu $ 2^n \equiv -1 ( mod 3^k ) $ thì $ n | 3^{k-1} $

[Bé con]

Liều mạng làm thử,sai cấm cười:
Ta có:
2^{2. 3^{k-1} } đồng dư 1 (mod 3^{k})
2^{2n} đồng dư 1 (mod 3^{k})
Suy ra 2^{2 (3^{k-1},n) } đồng dư 1 (mod 3^{k})
Nếu n không là ước 3^{k-1} suy ra (n,3^{k-1})=1 suy ra 4 đồng dư 1 (mod 3^{k}) suy ra k=1 suy ra bài toán sai nếu n=3,k=1
Nếu k>1 thì từ 4 đồng dư 1 mod 3^{k} dẫn đến mâu thuẫn,chứng tỏ bài toán đúng nếu k>1
(Đừng xóa bài em,em đang học đánh Latex)

[H.Quân- ĐHV]

CMR nếu $ 2^n \equiv -1 ( mod 3^k ) $ thì $ n | 3^{k-1} $

ta có$ (2,3^k) = 1$ nên

$ 2^{\phi (3^k) } \equiv 1 ( mod 3^k) $ $ 4^{3^{k-1} } \equiv 1 ( mod 3^k)$
mà $4^{n} \equiv 1 ( mod 3^k)$ nên $(n , 3^{k-1} ) = h$ ($ h$ là cấp )

thế thi $h = 3^t$ ta cm $t= k-1 $thật vậy nếu$ t<k-1$

ta có $4^{3^t} - 1 = 3 ( 4^{ 3^t - 1 } + 4^{3^t - 2} + ...+ 4+ 1 ) \vdots 3^k $

mà $4^{3^t - i} $ với $i=1 ,2,...,3^t -1 $ lập thành 1 hệ thặng dư đầy đủ mod $3^{k-1}$ ( do $ t $ min )

khi đó $4^{ 3^t - 1 } + 4^{3^t - 2} + ...+ 4+ 1 \equiv 3^t(3^t+1) : 2 ( mod 3^{k-1} ) $ $ t = k-1 $ đpcm

Edited by H.Quân- ĐHV, 16-04-2008 - 22:08.

[T*genie*]

(Đừng xóa bài em,em đang học đánh Latex)

Anh gõ lại cho em được chứ?

$2^{2. 3^{k-1} }$ đồng dư 1 (mod $3^{k}$)
$2^{2n}$ đồng dư 1 (mod $3^{k}$)
Suy ra $2^{2 (3^{k-1},n) }$ đồng dư 1 (mod $3^{k}$)
Nếu n không là ước $3^{k-1}$ suy ra (n,$3^{k-1}$)=1 suy ra 4 đồng dư 1 (mod $3^{k}$) suy ra k=1 suy ra bài toán sai nếu n=3,k=1
Nếu k>1 thì từ 4 đồng dư 1 mod $3^{k}$ dẫn đến mâu thuẫn,chứng tỏ bài toán đúng nếu k>1

em chỉ cần chèn tex khi đánh công thức là ok.

[MyLoveIs4Ever]

Bài nì nhiều cách CM lém , tạm thời có 2 cách nữa ( ý tưởng vẫn là căn nguyên thủy nhưng đi theo 2 hướng)

Dùng định lí sau
Với $ p $ nguyên tố lẻ nếu $ r $ là căn nguyên thủy modulo $ p $ và $ r $ cũng là căn nguyên thủy modulo $ p^2 $ thì $ r $ cũng là căn nguyên thủy modulo $ p^k $ mọi $ k \geq 3 $

CM ko khó mấy

Áp dụng vào là ok

Hoặc xét riêng bài toán này thì Chỉ cần CM $ 2 $ là căn nguyên thủy modulo $ 3^n $ là đủ
hay dùng bổ đề sau:
$ 2^{2.3^{n-1}} \equiv 1+3^n (mod 3^{n+1}) $