Giup em bai nay voi em sap thi hoc ki roi'
tìm GTNN và GTLN của hàm số$ y = 2 \sqrt{x-1} + \sqrt{5(2-x)} khi 1 \leq x \leq 2$
@ : From *Quang_huy* to you : Lần sau viết công thức để trong tex nhe !
giup em voi
Started By winterfrost, 29-04-2008 - 19:58
#1
Posted 29-04-2008 - 19:58
#2
Posted 29-04-2008 - 20:11
$ y^2 = (2\sqrt {x - 1} + \sqrt 5 \sqrt {2 - x} )^2 \le (2^2 + \sqrt 5 ^2 )(x - 1 + 2 - x) = 9$
$- 3 \le y \le 3$
dấu bằng xảy ra khi $x = \dfrac{13}{9}$
$- 3 \le y \le 3$
dấu bằng xảy ra khi $x = \dfrac{13}{9}$
#3
Posted 29-04-2008 - 21:40
cai do moi la' GTLN con' GTNN thi khong phai vay du' sao cung cam on ban.
#4
Posted 29-04-2008 - 21:51
Với min thì dùng bđt Minkovsky : $\sqrt {x^2 + y^2 } + \sqrt {z^2 + t^2 } \ge \sqrt {(x + z)^2 + (y + t)^2 } $
Ta có
$2\sqrt {x - 1} + \sqrt 5 \sqrt {2 - x} \ge \sqrt {(2^2 + 5) + (x - 1 + 2 - x)^2 } = \sqrt {10} $
Ta có
$2\sqrt {x - 1} + \sqrt 5 \sqrt {2 - x} \ge \sqrt {(2^2 + 5) + (x - 1 + 2 - x)^2 } = \sqrt {10} $
#5
Posted 29-04-2008 - 22:18
cung duoc nhung ban dung cach khac duoc ko minh moi lop 10 ko dung duoc bdt Minkovsky
Edited by winterfrost, 29-04-2008 - 22:18.
#6
Posted 30-04-2008 - 00:20
Lớp 10 thì mới dùng Minkovsky chứ
Nếu là 11 hay 12 thì cứ đạo hàm mà phang.
Nếu là 11 hay 12 thì cứ đạo hàm mà phang.
#7
Posted 30-04-2008 - 07:37
vay ngoai cach dung minkovsky thi con cach khac khong , minh nghi la binh phuong len, sau do dung cauchy, nhung chua biet tach ra lam sao. Mong ban co gang giup cho chot.
#8
Posted 30-04-2008 - 09:00
Có thể dùng Minkovsky gián tiếp bằng vector
Xét $\vec a = (x,y),\vec b = (z,t),\vec a + \vec b = (x + z,y + t)$
$|\vec a | + |\vec b | \ge |\vec a + \vec b | \Leftrightarrow \sqrt {x^2 + y^2 } + \sqrt {z^2 + t^2 } \ge \sqrt {(x + z)^2 + (y + t)^2 } $
Xét $\vec a = (x,y),\vec b = (z,t),\vec a + \vec b = (x + z,y + t)$
$|\vec a | + |\vec b | \ge |\vec a + \vec b | \Leftrightarrow \sqrt {x^2 + y^2 } + \sqrt {z^2 + t^2 } \ge \sqrt {(x + z)^2 + (y + t)^2 } $
#9
Posted 30-04-2008 - 21:15
ok cam on nhiu
nhung minh nghi dung$ y \geq 2 :sqrt{x-1} + 2\sqrt{(2-x)}$
sau đó bình phuong len thi đỡ hơn nhiều
@:To you : viết công thức nên để trong tex(...*Quang_huy*)
nhung minh nghi dung$ y \geq 2 :sqrt{x-1} + 2\sqrt{(2-x)}$
sau đó bình phuong len thi đỡ hơn nhiều
@:To you : viết công thức nên để trong tex(...*Quang_huy*)
#10
Posted 01-05-2008 - 00:00
Bài này MAX y=3,đẳng thức xảy khi$\ x=\dfrac{13}{9}$ và MIN y=2,đẳng thức xảy khi x=2.
Bài dễ như vầy mà cứ phải xài Minkovsky với lại đạo hàm.Thật là ............kỳ quặc!!!!!!
Xin mời slbadguy thử sức với bài toán sau:
"Cho $\ x,y,z \geq 0;x+y+z=1 $.Chứng minh:$\ x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x \leq \dfrac{4}{27} $".
Bài dễ như vầy mà cứ phải xài Minkovsky với lại đạo hàm.Thật là ............kỳ quặc!!!!!!
Xin mời slbadguy thử sức với bài toán sau:
"Cho $\ x,y,z \geq 0;x+y+z=1 $.Chứng minh:$\ x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x \leq \dfrac{4}{27} $".
#11
Posted 01-05-2008 - 02:15
Bài này MAX y=3,đẳng thức xảy khi$\ x=\dfrac{13}{9}$ và MIN y=2,đẳng thức xảy khi x=2.
Bài dễ như vầy mà cứ phải xài Minkovsky với lại đạo hàm.Thật là ............kỳ quặc!!!!!!
Thấy bạn nhắc mới biết là làm sai cái min.
Xin mời slbadguy thử sức với bài toán sau:
"Cho $\ x,y,z \geq 0;x+y+z=1 $.Chứng minh:$\ x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x \leq \dfrac{4}{27} $".
Đang chờ đá banh ngồi làm bài này
Do bđt trên hoán vị nên ta xét 2 th $x \le y \le z$ hay $x \ge y \ge z$
Nếu $x \le y \le z \Rightarrow \sum\limits_{cyc} {x^2 y} \le \sum\limits_{cyc} {xy^2 } $
Trường hợp này quy về trường hợp $x \ge y \ge z$
Nếu $x \ge y \ge z$ :
$F(x,y) = \sum\limits_{cyc} {x^2 y} = x^2 y + y^2 (1 - x - y) + z^2 x = x^3 + x^2 (3y - 2) + x(1 - 2y) - y^3 + y^2 $
$\dfrac{{\partial F(x,y)}}{{\partial x}} = 3x^2 + 2x(3y - 2) + 1 - 2y = (3x - 1)(x + 2y - 1)$
nếu $ - 2y + 1 \le \dfrac{1}{3}$ :
do $1 \ge x \ge \dfrac{1}{3} \Rightarrow F(x,y) \le F(1,y) = - (y - 1)^2 (y + 1) \le 0$
nếu $ - 2y + 1 \ge \dfrac{1}{3}$:
do $1 \ge x \ge \dfrac{1}{3} \Rightarrow F(x,y) \le \max (F(\dfrac{1}{3},y);F(1,y);F( - 2y + 1,y))$
$F( - 2y + 1,y) = 0$
$F(1,y) \le 0$
$F(\dfrac{1}{3},y) = - y (3y^2 - 3y + 1) + \dfrac{4}{{27}} \le \dfrac{4}{{27}}$
ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi $x = \dfrac{2}{3},y = \dfrac{1}{3},z = 0$
Tặng bạn mai quoc thang
"cho $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ , $x,y,z \ge 0$ tìm gtln của $\sum\limits_{cyc} {x^2 y} $"
Edited by slbadguy, 01-05-2008 - 11:40.
#12
Posted 01-05-2008 - 07:51
không biết slbadguy đang dùng phương pháp gì nhỉ? trông có vẻ giống nhân tử Lagrange? Còn về bài trên thì dễ và chả phải giải và chia trường hợp dài dòng như thế làm gì
Chi cần giả sử b là số ở giữa là xong ngay, sau đó dùng AM-GM Bài sau cũng thế
Chi cần giả sử b là số ở giữa là xong ngay, sau đó dùng AM-GM Bài sau cũng thế
#13
Posted 01-05-2008 - 12:06
Chỉ là đạo hàm bình thường thôi mà.
Biểu diễn ra đi để anh còn ..... tham khảo.
Biểu diễn ra đi để anh còn ..... tham khảo.
Edited by slbadguy, 01-05-2008 - 12:09.
#14
Posted 01-05-2008 - 12:17
#15
Posted 01-05-2008 - 13:04
Nhìn lời giải của 10maths thì hơi dài dòng cho bài đơn giản này Ta có thể chứng minh kết quả mạnh hơn như sau:
$a^2b+b^2c+c^2a+abc\le 4,\forall a,b,c\ge 0, a+b+c=3$
Giả sử b là số có giá trị nằm giữa c và a thì ta có:
$c(a-b)(c-b)\le 0\leftrightarrow c^2a+b^2c\le c^2b+abc \leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a+abc\le b(a+c)^2\le 4$
Kết quả tổng quát cho mũ n là số tự nhiên vẫn đúng. Chỉ dùng mỗi AM-GM
$a^2b+b^2c+c^2a+abc\le 4,\forall a,b,c\ge 0, a+b+c=3$
Giả sử b là số có giá trị nằm giữa c và a thì ta có:
$c(a-b)(c-b)\le 0\leftrightarrow c^2a+b^2c\le c^2b+abc \leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a+abc\le b(a+c)^2\le 4$
Kết quả tổng quát cho mũ n là số tự nhiên vẫn đúng. Chỉ dùng mỗi AM-GM
#16
Posted 01-05-2008 - 13:14
Lưu ý bài mạnh hơn mình vừa nếu là một kết qủa rất hữu ích trong việc chuyển 1 bdt hoán vị về dạng đối xứng. Mình còn một cách khác rất tà đạo nhưng khá đẹp đó là đồng bậc 2 vế và giả sử $a=min\{a,b,c\}$, biến đổi nó về:
$(\dfrac{b+4c}{a}-5)(2b-a-c)^2+\dfrac{9}{2}[ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\ge 0$
Bài sau với điều kiện $a^2+b^2+c^2=1$. Cũng giải theo kiểu đấy, qui về khảo sát hàm 1 biến.
$(\dfrac{b+4c}{a}-5)(2b-a-c)^2+\dfrac{9}{2}[ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\ge 0$
Bài sau với điều kiện $a^2+b^2+c^2=1$. Cũng giải theo kiểu đấy, qui về khảo sát hàm 1 biến.
#17
Posted 01-05-2008 - 17:25
Cám ơn. Cách này hay thiệt.
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users