Chủ đề này có 16 trả lời

[winterfrost]

Giup em bai nay voi em sap thi hoc ki roi'

tìm GTNN và GTLN của hàm số$ y = 2 \sqrt{x-1} + \sqrt{5(2-x)} khi 1 \leq x \leq 2$
@ : From *Quang_huy* to you : Lần sau viết công thức để trong tex nhe !

[slbadguy]

$ y^2 = (2\sqrt {x - 1} + \sqrt 5 \sqrt {2 - x} )^2 \le (2^2 + \sqrt 5 ^2 )(x - 1 + 2 - x) = 9$
$- 3 \le y \le 3$
dấu bằng xảy ra khi $x = \dfrac{13}{9}$

[winterfrost]

cai do moi la' GTLN con' GTNN thi khong phai vay du' sao cung cam on ban.

[slbadguy]

Với min thì dùng bđt Minkovsky : $\sqrt {x^2 + y^2 } + \sqrt {z^2 + t^2 } \ge \sqrt {(x + z)^2 + (y + t)^2 } $

Ta có
$2\sqrt {x - 1} + \sqrt 5 \sqrt {2 - x} \ge \sqrt {(2^2 + 5) + (x - 1 + 2 - x)^2 } = \sqrt {10} $

[winterfrost]

cung duoc nhung ban dung cach khac duoc ko minh moi lop 10 ko dung duoc bdt Minkovsky

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi winterfrost: 29-04-2008 - 22:18

[slbadguy]

Lớp 10 thì mới dùng Minkovsky chứ
Nếu là 11 hay 12 thì cứ đạo hàm mà phang.

[winterfrost]

vay ngoai cach dung minkovsky thi con cach khac khong , minh nghi la binh phuong len, sau do dung cauchy, nhung chua biet tach ra lam sao. Mong ban co gang giup cho chot.

[slbadguy]

Có thể dùng Minkovsky gián tiếp bằng vector
Xét $\vec a = (x,y),\vec b = (z,t),\vec a + \vec b = (x + z,y + t)$

$|\vec a | + |\vec b | \ge |\vec a + \vec b | \Leftrightarrow \sqrt {x^2 + y^2 } + \sqrt {z^2 + t^2 } \ge \sqrt {(x + z)^2 + (y + t)^2 } $

[winterfrost]

ok cam on nhiu
nhung minh nghi dung$ y \geq 2 :sqrt{x-1} + 2\sqrt{(2-x)}$
sau đó bình phuong len thi đỡ hơn nhiều
@:To you : viết công thức nên để trong tex(...*Quang_huy*)

[mai quoc thang]

Bài này MAX y=3,đẳng thức xảy khi$\ x=\dfrac{13}{9}$ và MIN y=2,đẳng thức xảy khi x=2.
Bài dễ như vầy mà cứ phải xài Minkovsky với lại đạo hàm.Thật là ............kỳ quặc!!!!!!
Xin mời slbadguy thử sức với bài toán sau:
"Cho $\ x,y,z \geq 0;x+y+z=1 $.Chứng minh:$\ x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x \leq \dfrac{4}{27} $".

[slbadguy]

Bài này MAX y=3,đẳng thức xảy khi$\ x=\dfrac{13}{9}$ và MIN y=2,đẳng thức xảy khi x=2.
Bài dễ như vầy mà cứ phải xài Minkovsky với lại đạo hàm.Thật là ............kỳ quặc!!!!!!

Thấy bạn nhắc mới biết là làm sai cái min.

Xin mời slbadguy thử sức với bài toán sau:
"Cho $\ x,y,z \geq 0;x+y+z=1 $.Chứng minh:$\ x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x \leq \dfrac{4}{27} $".

Đang chờ đá banh ngồi làm bài này

Do bđt trên hoán vị nên ta xét 2 th $x \le y \le z$ hay $x \ge y \ge z$
Nếu $x \le y \le z \Rightarrow \sum\limits_{cyc} {x^2 y} \le \sum\limits_{cyc} {xy^2 } $
Trường hợp này quy về trường hợp $x \ge y \ge z$
Nếu $x \ge y \ge z$ :
$F(x,y) = \sum\limits_{cyc} {x^2 y} = x^2 y + y^2 (1 - x - y) + z^2 x = x^3 + x^2 (3y - 2) + x(1 - 2y) - y^3 + y^2 $
$\dfrac{{\partial F(x,y)}}{{\partial x}} = 3x^2 + 2x(3y - 2) + 1 - 2y = (3x - 1)(x + 2y - 1)$
nếu $ - 2y + 1 \le \dfrac{1}{3}$ :
do $1 \ge x \ge \dfrac{1}{3} \Rightarrow F(x,y) \le F(1,y) = - (y - 1)^2 (y + 1) \le 0$
nếu $ - 2y + 1 \ge \dfrac{1}{3}$:
do $1 \ge x \ge \dfrac{1}{3} \Rightarrow F(x,y) \le \max (F(\dfrac{1}{3},y);F(1,y);F( - 2y + 1,y))$
$F( - 2y + 1,y) = 0$
$F(1,y) \le 0$
$F(\dfrac{1}{3},y) = - y (3y^2 - 3y + 1) + \dfrac{4}{{27}} \le \dfrac{4}{{27}}$
ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi $x = \dfrac{2}{3},y = \dfrac{1}{3},z = 0$

Tặng bạn mai quoc thang
"cho $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ , $x,y,z \ge 0$ tìm gtln của $\sum\limits_{cyc} {x^2 y} $"

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi slbadguy: 01-05-2008 - 11:40

[zaizai]

không biết slbadguy đang dùng phương pháp gì nhỉ? trông có vẻ giống nhân tử Lagrange? Còn về bài trên thì dễ và chả phải giải và chia trường hợp dài dòng như thế làm gì
Chi cần giả sử b là số ở giữa là xong ngay, sau đó dùng AM-GM Bài sau cũng thế

[slbadguy]

Chỉ là đạo hàm bình thường thôi mà.
Biểu diễn ra đi để anh còn ..... tham khảo.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi slbadguy: 01-05-2008 - 12:09

[slbadguy]

http://diendantoanho...showtopic=33058

[zaizai]

Nhìn lời giải của 10maths thì hơi dài dòng cho bài đơn giản này Ta có thể chứng minh kết quả mạnh hơn như sau:
$a^2b+b^2c+c^2a+abc\le 4,\forall a,b,c\ge 0, a+b+c=3$

Giả sử b là số có giá trị nằm giữa c và a thì ta có:
$c(a-b)(c-b)\le 0\leftrightarrow c^2a+b^2c\le c^2b+abc \leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a+abc\le b(a+c)^2\le 4$

Kết quả tổng quát cho mũ n là số tự nhiên vẫn đúng. Chỉ dùng mỗi AM-GM

[zaizai]

Lưu ý bài mạnh hơn mình vừa nếu là một kết qủa rất hữu ích trong việc chuyển 1 bdt hoán vị về dạng đối xứng. Mình còn một cách khác rất tà đạo nhưng khá đẹp đó là đồng bậc 2 vế và giả sử $a=min\{a,b,c\}$, biến đổi nó về:
$(\dfrac{b+4c}{a}-5)(2b-a-c)^2+\dfrac{9}{2}[ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\ge 0$

Bài sau với điều kiện $a^2+b^2+c^2=1$. Cũng giải theo kiểu đấy, qui về khảo sát hàm 1 biến.

[slbadguy]

Cám ơn. Cách này hay thiệt.