Chủ đề này có 3 trả lời

[supermember]

Bài toán


Cho $n$ số thực phân biệt $a_1 , a_2 , ...., a_n$ ($n \geq 2$ ) thỏa mãn




$a_1 <a_2 < ....< a_n \leq a_1 +1$



Chứng minh rằng

$\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\prod_{i=1 , i \neq k}^{n}| a_i - a_k|} \geq 2^{2n-3} $

Chúc bé iu thi đậu ĐH Y Dược

[supermember]

Bài này là 1 bài toán khó , Hero TVƠ xin trình bày lời giải của thầy Hero TVƠ :



Trước hết ta xét dãy các đa thức $P_{n}(x)$ được xác định bởi :


$P_{1}(x) = x$ ; $P_{2}(x) = 2x^2 -1 $


$P_{n}(x) = 2xP_{n-1}(x) - P_{n-2}(x)$ (với mọi $n $ thuộc $N$ và lớn hơn hoặc bằng $3$ )


Dể thấy rằng $P_{n}(x)$ là đa thức bậc $n$ và có hệ số bậc cao nhất là $2^{n-1}$


Đồng thời thì ta thấy rằng $P_{n}(cosa) = cosna $ với mọi $a$


$ \Rightarrow |P_{n}(x)| \leq 1 $ với mọi $x$ thuộc $[-1 ; 1]$



Bậy giờ thì theo công thức nội suy $Lagrange $ thì với $n$ số thực phân biệt $x_1 , x_2 , ..., x_n$ ta có :



$P_{n-1}(x) = \sum_{k=1}^{n}P_{n-1}(x_k)\prod_{i=1 , i \neq k}^{n}\dfrac{ x - x_i}{x_k - x_i}$


Đồng nhất hệ số của $x^{n-1}$ ở $2$ vế ta có :


$2^{n-2} =\sum_{k=1}^{n}P_{n-1}(x_k)\prod_{i=1 , i \neq k}^{n}\dfrac{1}{x_k - x_i} $ $$



Công việc còn lại chỉ mang ý nghĩa "khéo tay hay làm "


Nếu chọn $x_i = 2 ( a_i - a_1 - \dfrac{1}{2})$ với mọi $i = 1 ,2 ,...., n$


Thì ta có $-1 \leq x_i \leq 1$ với mọi $i = 1 ,2 ,...., n$


Và quan trọng là $x_k - x_i = 2(a_k - a_i) $với mọi $i , k \in \{1 ,2 ,...., n\} $

Và cũng theo nhận xét ở trên ta có

$ |P_{n-1}(x_i)| \leq 1 $ với mọi $i \in \{1 ,2 ,...., n\}$$(**)$


Nên từ $$ ta có


$2^{n-2} \leq \|\sum_{k=1}^{n}P_{n-1}(x_k)\prod_{i=1 , i \neq k}^{n}\dfrac{1}{x_k - x_i} \| \leq\sum_{k=1}^{n} \|P_{n-1}(x_k)\prod_{i=1 , i \neq k}^{n}\dfrac{1}{x_k - x_i}\| $




$ \leq \sum_{k=1}^{n} \|\prod_{i=1 , i \neq k}^{n}\dfrac{1}{x_k - x_i} \|$ theo $(**)$



$ \Rightarrow 2^{n-2} \leq \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2^{n-1}\prod_{i=1, i \neq k }^{n}|a_i - a_k|}$




$ \Rightarrow 2^{2n-3} \leq \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\prod_{i=1, i \neq k }^{n}|a_i - a_k|}$


Đây là điều phải chứng minh

Đa thức nói ở trên rất thông dụng và có tên là đa thức $Chebyshev$ các bạn có thể tham khảo trong nhiều tài liệu

1 bài toán đẹp cả về hình thức và nội dung



Chúc bé yêu Hạnh phúc , tuy Hero TVƠ không thể làm bé vui

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 04-05-2008 - 02:04

[ctlhp]

ban đầu ghĩ chỉ cần cm với các $ x_{i}$ trong $ [-1,1]$ . sau đó so sánh hệ số deg cao nhất của cái Chebychev và bđt giữa nghiệm và hệ. té ra đặt kiều này. cái đặt cuối cùng qua $ a_{i}$ thấy bản quá

[H.Quân- ĐHV]

Bài toán
Cho $n$ số thực phân biệt $a_1 , a_2 , ...., a_n$ ($n \geq 2$ ) thỏa mãn

$a_1 <a_2 < ....< a_n \leq a_1 +1$
Chứng minh rằng

$\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\prod_{i=1 , i \neq k}^{n}| a_i - a_k|} \geq 2^{2n-3} $

Chúc bé iu thi đậu ĐH Y Dược

Anh Đức chán quá ra bài nào là chữa bài đó luôn ,em mới đọc bài này đúng là hình thức đẹp thật nhưng với dạng toán này thì thương dùng đa thức để giải mà đa thức trebushep không phải là quá mới để có thể nghĩ theo hướng này ,Dù sao thì cách giải này khá tự nhiên