Chủ đề này có 12 trả lời

[vuthanhtu_hd]

Cho dãy số $( x_{n})$có $x_{1}=2008,x_{n+1}=\sqrt{3}+\dfrac{x_{n}}{\sqrt{ x_{n}^{2}-1}}$.Tìm $lim x_{n}$ khi $n---->+\infty$

[anh_offline]

Cần j` điều kiện x1=2008.Chỉ cần x1>0 là quá đủ.Bài này chắc là có thể dùng ánh xạ co.Dự đoán đơn giản đuợc giới hạn dãy từ giả thiết biểu thức dữ kiện (= 1 số l nào đó:l=f(l),giải pt ta tính được l).Trừ cả 2 vế của giả thiết cho l,dễ dàng có ngay kết quả

[vuthanhtu_hd]

Cần j` điều kiện x1=2008.Chỉ cần x1>0 là quá đủ.Bài này chắc là có thể dùng ánh xạ co.Dự đoán đơn giản đuợc giới hạn dãy từ giả thiết biểu thức dữ kiện (= 1 số l nào đó:l=f(l),giải pt ta tính được l).Trừ cả 2 vế của giả thiết cho l,dễ dàng có ngay kết quả

Không lẽ lại phải dùng đến ánh xạ co.Đây chỉ là 1 bài thi HSG toán 12 của tỉnh mình mấy năm trước thôi mà!

[anh_offline]

Đúng rồi ạ>Ánh xạ co sẽ giúp ta giải bài này nhanh hơn

[*Quang_Huy*]

Đúng rồi ạ>Ánh xạ co sẽ giúp ta giải bài này nhanh hơn

Dạo này diễn đàn đâu đâu cũng thất tiêu đề "không khó" nhưng nhiều bài đòi hỏi hơi cao về kiến thức

[anh_offline]

Hơ hơ,có cả khẩu hiệu "dễ nè" nữa anh ạ

[vuthanhtu_hd]

Mình cần 1 lời giải hơn là nhưng lời nhận xét của các bạn!

[phamconghung]

$\dfrac{x_{n+1}}{x_n}<1$ với n đủ lớn nên dãy giảm. Có $x_n^2-1 < x^2_n \rightarrow \dfrac{x_n}{\sqrt{x^2_n-1}}>1\rightarrow x_{n+1}>\sqrt{3}+1$


dãy giảm bị chặn dưới nên có giới hạn thôi!
cho giới hạn bằng L thay vào giải phương trình là được thôi!

OK không?

[phamconghung]

bài này khó chịu ở đoạn sau là tìm cụ thể cái giới hạn bằng cách giải pT. chứng minh được cái đó có nghiệm duy nhất và chấp nhận là nghiệm của cái đó. mình chưa tìm ra được cụ thể kết quả. có thể phải dùng lượng giác.

[phamconghung]

bài này khó chịu ở đoạn sau là tìm cụ thể cái giới hạn bằng cách giải pT. chứng minh được cái đó có nghiệm duy nhất và chấp nhận là nghiệm của cái đó. mình chưa tìm ra được cụ thể kết quả. có thể phải dùng lượng giác.

mấy chú này đưa bài xong đi mất hay sao ấy nhỉ?
phải nghiên cứu chứ

[tanlsth]

Nói ánh xạ co cho nó to tát làm gì.Thích nghiên cứu về ánh xạ co thì có ông Banach đó.
Bài này dựa vào nhận xét là $|f'(x)|<\dfrac{1}{3}$ với $x>\sqrt{3}+1$ thôi.Ở đây $f(x)=\sqrt{3}+\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}$
Sau đó sử dụng định lí Lagrange cho dãy là ổn.

[vuthanhtu_hd]

Cho dãy số $( x_{n})$có $x_{1}=2008,x_{n+1}=\sqrt{3}+\dfrac{x_{n}}{\sqrt{ x_{n}^{2}-1}}$.Tìm $lim x_{n}$ khi $n---->+\infty$

Lời giải
Chứng minh bằng quy nạp thì $x_{n}>\sqrt{3}, \forall n \in N^{*}$
Xét $f(x)=\sqrt{3}+\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-1}$ với $x>\sqrt{3}$
$f'(x)=-\dfrac{1}{\sqrt{(x^{2}-1)^{3}}$ nên $|f'(x)|<\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$
GPT $\sqrt{3}+\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-1}=x$

$\Leftrightarrow(x^{2}-\sqrt{3}x)^{2} -2(x^{2}-\sqrt{3}x)-3=0$

Lấy nghiệm $x=\alpha= \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2}$
theo ĐL Lagrange thì
$|x_{n+1}-\alpha|=|f(x_{n})-f(\alpha)|=|f'©||x_{n}|- \alpha|< \dfrac{1}{2\sqrt{2}}|x_{n}- \alpha|<...< \dfrac{1}{(2\sqrt{2})^{n}}|x_{1}- \alpha|--->0$( khi $n-->+ \infty$ )
vậy $lim x^{n}=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2}$
$n-->+ \infty$
OK

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 22-09-2009 - 20:33

[vuthanhtu_hd]

Bài này là đề thi hsg 12 tỉnh Hải Dương (năm 2006-2007)