Chủ đề này có 9 trả lời

[congtru]

Ở lớp 9, chúng ta chắc đã gặp bài toán sau:
Từ điểm A bên ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến AM, AN và cát tuyến APQ không qua O. Chứng minh rằng các tiếp tuyến tại P, Q cắt nhau tại điểm B nằm trên MN.
Đây là một bài toán hay và có nhiều cách chứng minh. Nếu ta kẻ thêm cát tuyến ARS nữa và nhận thấy rằng giao điểm của các cặp đường thẳng (PR,QS) hay (PS,QR) cũng nằm trên MN. Việc chứng minh điều này lại không dễ dàng chút nào.
Nếu không thể (à quên, có thể bằng phương pháp tọa độ) thì ngay từ bây giờ các bạn nên làm quen với các khái niệm cực và đối cực. Điểm A ở đây gọi là cực của đường thẳng MN và MN được gọi là đối cực của A. Khi đó B là cực của PQ và PQ là đối cực của B.
Các bạn có thể rút ra được điều gì từ bài toán trên ?
Có tính chất bí ẩn nào liên quan đến các khái niệm cực và đối cực ?
- Nhiều bài toán, nếu dùng cực và đối cực thì lời giải sẽ ngắn gọn, rõ ràng hơn.
Các ví dụ:
1) Trong một tứ giác ngoại tiếp ABCD: 2 đường chéo, 2 đường thẳng nối tiếp điểm các cạnh đối diện thì đồng qui.
2) Bài T7/317 tạp chí THTT: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi E, F là giao điểm của BD với (O). H là hình chiếu của O lên AC. Chứng minh góc BHE bằng góc DHF.

[vo thanh van]

Bài này đã được anh neverstop viết rất hoành tráng,tuy nhiên bài viết đó đã bị xóa,bây giờ mình xin post lại như sau:
<center><span style='color:red'><span style='font-size:14pt;line-height:100%'>Cực và đối cực </span></span></center>

Cực và đối cực là một chủ đề được ứng dụng nhiều trong hình học phổ thông. Bài viết này xin trình bày những hiểu biết nhỏ xung quanh vấn đề này. Mong được sự góp ý của các bạn.

1. Đường tròn trực giao:

Bởi vì khái niệm cực và đối cực liên quan trực tiếp tới đường tròn trực giao nên ở đây xin nói qua những điều cơ bản của đường tròn trực giao.

Định nghĩa: hai đường tròn
Tập hợp các điểm N thỏa mãn được gọi là đường đối cực của điểm M đối với đường tròn (O) và điểm M được gọi là cực của đường thẳng này.

Một số tính chất:

1) Từ định nghĩa suy ra rằng nếu N thuộc đường đối cực của M thì M cũng thuộc đường đối cực của N.

2) Nếu M nằm ngoài (O) kẻ các tiếp tuyến MP, MQ tới đường tròn (O) thì do

4)Chú ý rằng H là điểm thỏa mãn
Gọi X, Y là giao điểm của MN với AD, BC. Ta biết rằng (PXAD) = (PYBC) = -1 nên X, Y thuộc đường đối cực của P đối với (O). Cũng tức là MN là đường đối cực của P đối với (O).

Sự bình đẳng giữa M, N, P cho ta kết quả tương tự: NP, PM là các đường đối cực của M, N đối với (O).

Theo như tính chất 4) thì:


Ta cũng có những phát biểu tương tự cho các bộ điểm thẳng hàng khác nằm trên các đường thẳng NP, PM.

Nếu kẻ các tiếp tuyến tại các đỉnh A, B, C, D cho cắt nhau tạo thành tứ giác XYZT thì từ kết quả trên có thể suy ra AC, BD, XZ, YT đồng quy. (tại N)


Đó là bài toán cũng quen thuộc. Nhưng nếu phát biểu đối với những đường đồng quy khác (tại M, P) có lẽ sẽ có những kết quả thú vị khác.

Ví dụ như bài toán sau: cho tam giác ABC, đường tròn (O) tiếp xúc với AB, AC tại M, N. Kẻ các tiếp tuyến BP, CQ với (O).
Định lý Briăngxông: chứng minh các đường chéo của lục giác ngoại tiếp đồng quy.


Xét lục giác ABCDEF ngoại tiếp; M, N, P, Q, R, S là các tiếp điểm của các cạnh.
Gọi X, Y, Z là giao của các cặp đường thẳng MS và PQ; MN và QR; NP và RS.
Nhận thấy MS, PQ là các đường đối cực của A và D nên AD sẽ là đường đối cực của X.
Tương tự BE, CF là các đường đối cực của Y và Z.
Nếu AD, BE, CF đồng quy tại K thì X, Y, Z sẽ nằm trên đường đối cực của điểm K này. Còn nếu X, Y, Z thẳng hàng thì AD, BE, CF sẽ đồng quy tại cực của đường thẳng đi qua X, Y, Z. Kết thúc chứng minh.

[congtru]

Đây là bài viết của mình, nhờ các bạn góp ý.

File gửi kèm

•  cuc_va_doi_cuc_A.pdf   247.86K   290 Số lần tải

[namdung]

Cảm ơn thầy Bửu Lộc. Vậy là thầy Bửu Lộc sẽ mở màn cho seminar toán sơ cấp của niên khóa 08-09.

[quangvinht2]

Thấy mấy thầy bàn tán về đối cực em lục lại trong đám tài liệu cũ có một bài viết nhỏ về đối cực, nhưng định nghĩa dựa theo phương pháp tọa độ. Tất nhiên khi xây dựng các tính chất thì thoát li khỏi tọa độ. Cái này đã thử nghiệm dạy trong chương trình các lớp 10 không chuyên toán.

File gửi kèm

•  co_ban_ve_doi_cuc.doc   142.5K   66 Số lần tải

[congtru]

Em rất mong trong bài viết của thầy có mục tài liệu tham khảo!!!!!!!!!!!!!!!!!
Các bạn có thể xem tài liệu sau để hiểu rõ hơn lí do của câu nói trên http://www.math.ust....ibur/v11_n4.pdf

Vang, do la mot tai lieu tham khao, toi khong phu nhan dieu do.

[namdung]

Không ,thầy hiểu nhầm ý em r�#8220;i ạ,chứ bài viết của thầy vẫn có những điểm khác mà (Đặc biệt là về phần cực và đối cực đối vơi cặp đường thẳng).
Ý của em là khi chúng ta sử dụng một tài liệu nào đó thì cần có thêm mục tài liệu tham khảo bởi theo em thì những tác giả ấy cũng đáng được nêu tên chứ ạ,ngoài ra điều đó cũng thể hiện sự tôn trọng của chúng ta với họ.
Điều này là khá quen thuộc ở nước ngoài nhưng Việt Nam mình thường ít coi trọng điều đó,và em thực sự mong muốn điều đó sẽ là quen thuộc với Việt Nam ,thế thôi ạ chứ em không có ý gì đâu.
Nếu có gì không phải ,em rất mong được anh Lộc bỏ qua ạ.

Tôi nghĩ góp ý của bạn ma 29 rất đúng. Chúng ta nên tạo thói quen ghi tài liệu tham khảo. Mặc dù đây không phải là bài báo khoa học, mà là bài báo thường thức, phổ thông nhưng cũng nên có tài liệu tham khảo trước hết với mục đích là giới thiệu với mọi người 1 số tư liệu khác (chú ý là các tài liệu tham khảo sẽ có những phần khác nữa mà ta không sử dụng đến), sau đó là thói quen của người làm toán.

Namdung

[k30101201]

Ví dụ: Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện $x^4 + 2y^4 = 12$. Hãy tìm GTLN và GTNN của $x + x^2 + 2(y + y^2)$

Ví dụ: Cho x1, x2, ..., xn là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x1+x2+...+xn = a. Tìm giá trị lớn nhất của x1x2...xn.

Em thấy 2 bài này quên lắm, ví dụ 2 hình trong sách "SÁNG TẠO BẤT ĐẲNG THỨC" của Nguyễn Kim Hùng có trình bày?
Không biết thầy Namdung đưa ra có mục đích j?

[Non_Stop]

Không biết khi nào mới diễn ra cái seminar đầu tiên này các thầy nhỉ?Em ở xa nên trông lắm.(trường em cũng có seminar nhưng trùng giờ học của lớp em nên không dự được) (

[vuthanhtu_hd]

Em thấy 2 bài này quên lắm, ví dụ 2 hình trong sách "SÁNG TẠO BẤT ĐẲNG THỨC" của Nguyễn Kim Hùng có trình bày?
Không biết thầy Namdung đưa ra có mục đích j?

sách "SÁNG TẠO BẤT ĐẲNG THỨC" của Phạm Kim Hùng em ạ!