Chủ đề này có 5 trả lời

[tuan101293]

Câu 1: câu này dài quá nên ko nhớ được nhưng nói chung là dễ
Câu 2: Cho pt:$ x^2+(m^2+1)x+m=2$
1) Cm: pt trên luôn có 2 nghiệm với mọi m
2) Cho $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của pt, tìm m để :
$\dfrac{2x_1-1}{x_2}+\dfrac{2x_2-1}{x_1}=x_1x_2+\dfrac{55}{x_1x_2} $
Câu 3: Cho $\Delta ABC$ có $\widehat{ACB}=90^o$. M là điểm bất kỳ trên AB.
Gọi $O,O_1,O_2$ là tâm các đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC,\Delta MAC,\Delta MBC$
a) Chứng minh : 4 điểm $O_1,M,O_2,C$ cùng thuộc đường tròn ©
b)Chứng minh: O cũng thuộc ©
c) Tìm vị trí M để bán kính © nhỏ nhất.
Câu 4 : Cho 4 số a,b,c,d thỏa mãn b,c 1 và
$\left\{\begin{array}{l}ac-a-c=b^2-2b\\bd-b-d=c^2-2c\end{array}\right$.
Chứng minh: ad+b+c=bc+a+d
Câu 5: Cho 3 số không âm x,y,z đôi một khác nhau thỏa mãn (z+x)(z+y)=1
Chứng minh BĐT sau: $\dfrac{1}{(x-y)^2} + \dfrac{1}{(x+z)^2} + \dfrac{1}{(y+z)^2} \geq 4 $

[anh_offline]

Các câu 1,2,3,4 ko phải là vấn đề.
Câu 5 khó hơn 1 chút.Đặt z+x=a thì z+y=1/a.Suy ra x-y=a-1/a.THay vào bất đẳng thức cần chứng minh,biến đổi tương đương,ra luôn đcpcm

[chien than]

Bài 5:
Quy đ?#8220;ng được BDT tương đương:
$\dfrac{1+2(x-y)^2+(x-y)^4}{(x-y)^2} \geq 4$
<=>$1+(x-y)^4 \geq 2(x-y)^2$
Đúng theo BDT Cauchy!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chien than: 12-06-2008 - 17:25

[vo thanh van]

Thêm 2 cách:
Cách 1:Đặt $a=x+z,b=y+z$ thì ta có $ab=1$ và bdt trở thành
$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+ \dfrac{1}{(a-b)^2} \ge 4$
$\Leftrightarrow \dfrac{ab}{a^2}+\dfrac{ab}{b^2}+\dfrac{ab}{(a-b)^2} \ge 4$
$\Leftrightarrow \dfrac{a}{b} +\dfrac{b}{a} +\dfrac{1}{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} -2} \ge 4$
Đặt $t=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} >2$ thì bdt trở thành
$t+\dfrac{1}{t-2} \ge 4$
$\Leftrightarrow (t-3)^2 \ge 0$
Đúng.
Vậy ta có đpcm.
Cách 2:Để ý đẳng thức $(z+x)^2 +(z+y)^2=2(z+x)(z+y) +(x-y)^2$ và áp dụng BDT AM-GM,ta có
$\dfrac{1}{(x-y)^2}+ (z+x)^2 +(z+y)^2= \dfrac{1}{(x-y)^2}+(x-y)^2 + 2(z+x)(z+y) \ge 4$
Cách này đúng rồi đó em.Dấu "=" xảy ra khi
$(z+x)(z+y)=1$ và $(x-y)^4=1$

[chien than]

Câu 3: Cho $\Delta ABC$ có $\widehat{ACB}=90^o$. M là điểm bất kỳ trên AB.
Gọi $O,O_1,O_2$ là tâm các đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC,\Delta MAC,\Delta MBC$
a) Chứng minh : 4 điểm $O_1,M,O_2,C$ cùng thuộc đường tròn ©
b)Chứng minh: O cũng thuộc ©
c) Tìm vị trí M để bán kính © nhỏ nhất.

a)Ta có $\hat{CO_2M}+\hat{CO_1M}=2(\hat{B}+\hat{A})=2.90^o=180^o$
b)Ta có $\hat{COA}=2\hat{B}=\hat{CO_2M}$=>$CO_2MO$ nội tiếp
c)Ta có $\hat{O_1CO_2}=90^o$
Hạ $O_1H \perp AC;O_2K \perp BC$
=>$4R^2=O_1O_2^2=CO_1^2+CO_2^2\geq CH^2+CK^2=\dfrac{AC^2+BC^2}{4}=\dfrac{AB^2}{4}$
Đẳng thức xảy ra <=>$M $ là chân đường vuôg góc từ $C$ xuống $AB$

[anh_offline]

CHân thành mà nói thì đề vòng 1 năm nay dễ