Chủ đề này có 22 trả lời

[mathnd]

Cho ] và ,
Đặt , với là một số dương tùy ý. Chứng minh rằng khi .

[vinhspiderman]

Lạ nhỉ,làm sao mà tại hạ đưa ra một chứng minh là không thể xảy ra a(n)-->0.Chứng minh ở dưới đây,xin mathnd xem giùm nha (có lẽ tại hạ mắc lỗi chăng???):

Ta có a(n+1)-a(n)=(e-a(n)).l(n)
a(n)-a(n-1)=(e-a(n-1)).l(n-1)
...
a(2)-a(1)=(e-a(1)).l(1)
Do đó :
a(n+1)-a(1)=e.(l(n)+...+l(1))-(l(n)a(n)+...a(1)l(1))

Giả sử rằng a(n)-->0,vậy thì với m đủ lớn khi n>m thì 0<a(n)<e/2 nên ta suy ra :
a(n+1)-a(1)=e(l(n)+...+l(m+1))-(l(n)a(n)...+l(m+1).a(m+1))+const
>(e-e/2)(l(n)+...+l(m+1))+const.
Lại lưu ý rằng lượng e/2(l(n)+...+l(m+1))-->infinity.Điều này mâu thuẫn với việc a(n)-->0.Vậy không thể xảy ra a(n)-->0.

[mathnd]

e/2(l(n)+...+l(m+1))-->infinity .
Giới hạn này không thể xảy ra được vì e làm một số dương bé tùy ý.
Một đại lượng bé tùy ý nhân vơi một đại lượng vô cùng chưa chắc đã bằng vô cùng.
Ví dụ: 1/n . n=1, với 1/n là đại lượng bé tùy ý, n là đại lượng vô cùng khi n đủ lớn
nhưng không bằng vô cùng.

[vinhspiderman]

e(l(n+1)+...+l(m+1))-->infinity là đúng rồi chứ vì l(n+1)+...+l(m+1)-->infinity còn e là const mà!
e có bé thế nào cũng vậy vì nó là hằng số mà!Đúng không?

[Lotus]

Theo em hiểu thì không là hằng mà với mỗi http://dientuvietnam...mimetex.cgi?a_n thì có bé tùy ý để http://dientuvietnam...tex.cgi?a_{n 1} được xác định bới công thức như đề bài. Nếu là hằng thì bài này không đúng.

[Mr Stoke]

[quote name='mathnd' date='May 23 2005, 11:52 PM']Cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\lim_{n\rightarrow+\infty;\epsilon\rightarrow0^+}a_n(\epsilon)=0

[vinhspiderman]

Theo em hiểu thì  không là hằng mà với mỗi  thì có  bé tùy ý để  được xác định bới công thức như đề bài. Nếu  là hằng thì bài này không đúng.

Úi chao,hồ đồ,hồ đồ.Nếu mà với mỗi n có một riêng thì còn biết đường nào mà làm nữa!Như vậy chẳng phải là thiếu giả thiết còn gì!Khi đó ngay cả việc dãy có hội tụ hay không thì đã chưa biết nói gì đến ... (Chắc là mấy ngày nay Lotus bị "căng thẳng" quá rồi thì phải,hê hê).

Mình nghĩ rằng ý của mathnd là yêu cầu chứng minh

Quý huynh đài này nói làm tại hạ giật mình.Nếu giới hạn khi cả n và cả đều tiến thì lẽ nào mathnd lại post thiếu yêu cầu à?Mà khi ấy với mỗi một ta lại có một dãy .Theo lập luận ở trên của tại hạ suy ra ngay với mỗi ta luôn có --> .Cho nên có cho -->0 thì cũng vậy thôi mà.

[Mr Stoke]

[quote name='vinhspiderman' date='May 25 2005, 08:00 PM'] \varepsilon $ ta lại có một dãy .Theo lập luận ở trên của tại hạ suy ra ngay với mỗi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\epsilon chạy trên tập đếm được ngoài ra thì ... chịu!

[vinhspiderman]

Mấy bữa giờ bận quá (sắp tới chắc là phải tạm xa dđ một tháng!).Stoke huynh nói vậy là không phải rồi.Nếu với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\varepsilon--0,n--> )a(n, )= .
Cái này thì dùng ngôn ngữ thông thường là có ngay ấy mà.

[nemo]

Ta có: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\epsilon là hằng số nên có thể đặt http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_n-\epsilon=b_n và ta có:

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_1=\epsilon thế thì dãy là dãy hằng và có giá trị là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\epsilon, với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\epsilon tùy ý thì chẳng đưa ra được bất kỳ kết luận nào cả.

Mình đồng ý với Lotus và bác Mr Stoke, đề xuất xét http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\epsilon_{n} được chọn tùy ý phụ thuộc vào từng http://dientuvietnam...mimetex.cgi?a_n và dần về 0.

[vinhspiderman]

Ah,nếu mỗi a(n) lại xác định phụ thuộc vào e(n) thì lại khác,mà nếu như vậy thì mỗi e(n) là mỗi một trường hợp khác nhau.Cái này thì phải cụ thể.Còn ai bảo là giải được tổng quát mọi dãy e(n) thì tại hạ biết rồi,không dám bàn!

[nemo]

Mình nói bài toán này không chuẩn về mặt ngữ nghĩa, nó dễ gây nhầm lẫn ở chỗ được chọn tùy ý, và thường làm ta nghĩ tới một hằng số cụ thể chứ không nói tới ý toán.

Nếu để ý kỹ thì dữ kiện cho tùy ý và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_{n+1}=(1-\lambda_n)a_n còn số hạng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\lambda_i được xác định như ở đề bài. Chứng minh rằng:

[vinhspiderman]

Nhận xét của nemo huynh cũng có vẻ hợp lý nhưng theo tại hạ thì chưa chắc như vậy đâu.Chẳng hạn như lấy e(n) dần tới 0 với một tốc độ nào đấy chậm thôi thì cũng chưa chắc đã khẳng định được a(n) sẽ tiến về 0.
Do đó tốc độ của "cái nhiễu" cũng quan trọng lắm,đừng xem thường nó.Sẽ là rất hay nếu ai đó tìm ra một khẳng định rằng với điều kiện cho trước nào đó về tốc độ tiến tới 0 như thế nào của e(n) (phụ thuộc vào tốc độ tiến tới 0 của l(n))v thì sẽ suy ra a(n) tiến tới 0.Tất nhiên,điều kiện cho trước phải đủ đơn giản để dễ kiểm tra được thì mới có nhiều ý nghĩa!

[nemo]

Mình xin trình bày là ở đây chúng ta có hai vấn đề:

• Thứ nhất, bài toán của bạn mathnd được hiểu đúng theo ý toán rằng là hằng cho mọi http://dientuvietnam...mimetex.cgi?a_n nhưng nó lại được chọn tùy ý, thế thì do chữ "tùy ý" nên nó cũng không khác gì chọn luôn bằng 0 và ta có bài toán tương đương là chứng minh cái tích mà mình đã viết ở trên bằng 0. (Điều này khá hay, chứng minh chắc cũng không dễ !)

• Thứ hai, chúng ta đưa ra khái niệm các http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\epsilon_n, cũng được chọn tùy ý ứng với mỗi http://dientuvietnam...mimetex.cgi?a_n, chúng hội tụ về 0 và bài toán đưa ra theo ý bác Vinhspiderman là khảo sát sự hội tụ của dãy http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(\epsilon_n) này để dãy http://dientuvietnam...imetex.cgi?(a_n) tiến về 0 với mọi http://dientuvietnam...mimetex.cgi?a_1 cho trước tùy ý.

[nemo]

• Vấn đề thứ nhất, tức bài toán của bạn mathnd:

Cho chuỗi các số http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\lambda_i được xác định như ở đề bài. Chứng minh rằng:http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\lambda_1+\lambda_2+...+\lambda_n có thể lớn tùy ý nếu chọn n đủ lớn, hơn nữa cũng với n đủ lớn ta có xấp xỉ:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(1-\dfrac{N}{n})^n ~ http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?0. Vậy ta có đpcm !

• Vấn đề thứ hai khi đưa ra khái niệm các http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\epsilon_n. Ta có như sau:

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_{n+1}=\epsilon_n\lambda_n+(1-\lambda_n)a_n http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\epsilon_n=\dfrac{a_{n+1}-a_n}{n}+a_n.

Vậy nếu dãy đơn điệu tăng từ một giá trị http://dientuvietnam...mimetex.cgi?n_0 nào đó thì suy ra ngay http://dientuvietnam...mimetex.cgi?a_n dần về 0, vậy từ công thức trên ta có thể đánh giá được mối liên hệ giữa http://dientuvietnam...mimetex.cgi?a_1 và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\epsilon_1 để dãy http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(a_n) có giới hạn là 0.

[vinhspiderman]

Câu trả lời của nemo cho trường hợp thứ nhất đúng.Nhưng cần nói rõ rằng a(n)-->0 chỉ khi bạn xét e=0.Còn nếu e>0 thì rõ ràng a(n)-->infinity.

Về vấn đề thứ 2 cho mình đính chính lại một chút : không phải mình là người đưa ra ý kiến xét bài toán a(n) xác định phụ thuộc vào e(n) mà là các bạn Lotus,Stoke và nemo.Vấn đề thứ 2 này có thể xem là một bài toán mở vì điều kiện của nó còn chưa rõ ràng.
Mình vẫn chưa rõ ý của nhận xét của nemo.Vấn đề là tốc độ của cả một dãy e(n) chứ e(1) với a(1) thì chưa phải là yếu tố quyết định!

[nemo]

Câu trả lời của nemo cho trường hợp thứ nhất đúng.Nhưng cần nói rõ rằng a(n)-->0 chỉ khi bạn xét e=0.Còn nếu e>0 thì rõ ràng a(n)-->infinity.

Chính vì thế mà đề bài không nói "Cho dương " mà nói "Cho dương tùy ý" nếu bạn đưa ra một cố định và chứng minh bài toán với cố định này thì bài toán mất hẳn ý nghĩa vì bạn đã chặn con tàu lại và kết luận về tình trạng của nó tại một thời điểm cố định trước khi nó chạy về đích. Vì thế, theo ý kiến của mình, ba chữ "dương tùy ý" cho phép ta hiểu bài toán với =0.

Về vấn đề thứ 2 cho mình đính chính lại một chút : không phải mình là người đưa ra ý kiến xét bài toán a(n) xác định phụ thuộc vào e(n) mà là các bạn Lotus,Stoke và nemo.Vấn đề thứ 2 này có thể xem là một bài toán mở vì điều kiện của nó còn chưa rõ ràng.

Hì hì ai đưa ra cũng vậy thôi, có sai đâu, lại là một vấn đề hay. Đây là một bài toán đòi hỏi tính kiên nhẫn - theo mình nghĩ như vậy, vì đánh giá cả một dãy http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(\epsilon_n) để biết tính hội tụ, phân kỳ của dãy http://dientuvietnam...imetex.cgi?(a_n) là điều có lẽ không đơn giản và cần tỉ mỉ, mình chỉ nêu ra 1 trường hợp nhỏ để http://dientuvietnam...mimetex.cgi?a_n dần về 0 thôi !

[vinhspiderman]

Chết rồi,lúc chiều mình vội quá nên chưa thấy ra điều này nemo à.Lập luận của cậu có một chỗ sơ hở không nhỏ đâu :
Cậu xấp xỉ (1+M/n)^n với e^M nhưng mà xấp xỉ này đúng với n đủ lớn khi M của chúng ta là hằng số.Còn nếu khi n chạy mà M cũng tiến ra vô cùng thì chưa chắc.Chúng ta hoàn toàn không thể khẳng định được điều gì cả!
Điều này là hiển nhiên vì với mỗi n cố định,nếu M càng lớn thì sai số giữa (1+M/n)^n và e^M là càng lớn.

Đây chính là sơ hở của chứng minh (nếu không muốn nói là sai lầm!).Vậy nên nếu không có cách chứng minh nào khác thì rất có thể điều khẳng định tổng quát của cậu trong trường hợp 1 là không đúng đâu nemo à.Hy vọng là sẽ tìm được phản ví dụ.Cho tại hạ thời gian (đang mắc ôn thi học kì mà!).

[nemo]

Lập luận của cậu có một chỗ sơ hở không nhỏ đâu :
Cậu xấp xỉ (1+M/n)^n với e^M nhưng mà xấp xỉ này đúng với n đủ lớn khi M của chúng ta là hằng số.Còn nếu khi n chạy mà M cũng tiến ra vô cùng thì chưa chắc.Chúng ta hoàn toàn không thể khẳng định được điều gì cả!

Mình chấp nhận sơ hở là nó không thể "xấp xỉ" nhau khi M cũng phụ thuộc vào n tức nó cũng biến thiên theo n (Cái này bây giờ mới để ý và chứng minh cũng khá đơn giản !). Tuy nhiên bài toán chẳng ảnh hưởng nhiều đâu bạn ạ.

Ta có: http://dientuvietnam...mimetex.cgi?M_n có thể ra vô cực nên với mọi http://dientuvietnam...mimetex.cgi?N_0 dương tùy ý tồn tại http://dientuvietnam...mimetex.cgi?n_0 để , bây giờ ta đánh giá như sau:

Với mọi . Vậy là ổn rồi !

[vinhspiderman]

Ừ,đúng rồi,ổn rồi đó!
(Xấu hổ quá,tốn gần cả đêm ngồi tìm phản ví dụ mà thấy cái nào cũng đúng,hê hê)