Cho $ABC$ là một tam giác có $AB>AC$.Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc $BC$ tại $E$.Gọi $D$ là giao điểm thứ hai của đường tròn nội tiếp với $AE$. $F$ là điểm nằm trên đoạn $AE$ sao cho $CE=CF$.Tia $CF$ cắt $BD$ ở $G$.Chứng minh rằng $CF=FG$.
Problem 1
Bắt đầu bởi tanlsth, 12-07-2008 - 17:38
#1
Đã gửi 12-07-2008 - 17:38
Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning
#2
Đã gửi 14-07-2008 - 16:29
Gọi $H,K$ lần lượt là tiếp điểm của đường tròn $\(I\)$ với các cạnh $AB,AC$ của $\triangle ABC$.
Gọi $P$ là giao điểm của $HK$ và $BC$.
Thế thì theo định lý Menelaus với $3$ điểm $P,K,H$ và $\triangle ABC$ ta có:
$\dfrac{\overline{HA}}{\overline{HB}}.\dfrac{\overline{PB}}{\overline{PC}}.\dfrac{\overline{KC}}{\overline{KA}}=1=-\dfrac{\overline{HA}}{\overline{HB}}.\dfrac{\overline{EB}}{\overline{EC}}.\dfrac{\overline{KC}}{\overline{KA}}\Rightarrow \dfrac{\overline{EB}}{\overline{EC}}=-\dfrac{\overline{PB}}{\overline{PC}}\Rightarrow\(BCEP\)=-1$
Mặt khác rõ ràng $P$ là cực của đường thẳng $\(AE\)$ đối với đường tròn $\(I\)$ nên ta có $PD$ là tiếp tuyến của $\(I\)$. Suy ra:
$\widehat{CFE}=\widehat{CEF}=\widehat{PED}\Rightarrow CF||PD$
Theo định lý về chùm điều hoà, ta có $F$ là trung điểm của $CG$ ($CG$ bị chắn bởi $DB,DE,DC$ hơn nữa $CF||PD$ và $\(DB,DC,DE,DP\)=-1$)
Kết thúc chứng minh.
Gọi $P$ là giao điểm của $HK$ và $BC$.
Thế thì theo định lý Menelaus với $3$ điểm $P,K,H$ và $\triangle ABC$ ta có:
$\dfrac{\overline{HA}}{\overline{HB}}.\dfrac{\overline{PB}}{\overline{PC}}.\dfrac{\overline{KC}}{\overline{KA}}=1=-\dfrac{\overline{HA}}{\overline{HB}}.\dfrac{\overline{EB}}{\overline{EC}}.\dfrac{\overline{KC}}{\overline{KA}}\Rightarrow \dfrac{\overline{EB}}{\overline{EC}}=-\dfrac{\overline{PB}}{\overline{PC}}\Rightarrow\(BCEP\)=-1$
Mặt khác rõ ràng $P$ là cực của đường thẳng $\(AE\)$ đối với đường tròn $\(I\)$ nên ta có $PD$ là tiếp tuyến của $\(I\)$. Suy ra:
$\widehat{CFE}=\widehat{CEF}=\widehat{PED}\Rightarrow CF||PD$
Theo định lý về chùm điều hoà, ta có $F$ là trung điểm của $CG$ ($CG$ bị chắn bởi $DB,DE,DC$ hơn nữa $CF||PD$ và $\(DB,DC,DE,DP\)=-1$)
Kết thúc chứng minh.
Và như thế, hạnh phúc thật giản dị, nhưng đó là điều giản dị mà chỉ những người thực sự giàu có trong tâm hồn mới sở hữu được.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh