Chủ đề này có 1 trả lời

[ngoduclong]

Tìm số nguyên tố p thỏa mãn $p^{2} -p+1=a^3, a \in N$
Đây là bài thi học sinh giỏi duyên hải Bắc Bộ lần thứ nhất năm 2008

[FOOL90]

Lời giải
$p^2-p+1 = a^3 \Leftrightarrow p(p-1)=(a-1)(a^2+a+1)$
$\Rightarrow (a-1)(a^2+a+1) \vdots p$ .
*) Nếu $(a-1) \vdots p \Rightarrow a-1 \geq p $ và $ (p-1) \vdots (a^2+a+1) \Rightarrow a-1 \geq p \geq a^2+a+2$
$\Rightarrow -1 \geq a^2 +2 $(vô lí).

Do vậy $(a^2+a+1) \vdots p$.
Đặt $a^2+a+1=k.p (k \in \mathbb{Z} ^+ \Rightarrow (p-1)=k.(a-1) \Rightarrow a^2+a+1 = k.(k(a-1)+1)$
$\Rightarrow a^2+a+1 =k^2.a -k^2+k \Rightarrow a^2 +(1-k^2).a +k^2-k+1 =0.$ (1)
suy ra $\Delta = (1-k^2)^2 -4(k^2-k+1) =k^4-6k^2+4k-3 $ là số chính phương .
Dễ thấy $k=1$ và $k=2$ đều không thỏa mãn điều kiện nên$ k\geq 3$.
Ta có BDT sau (khi $ k \geq 3$ ): $(k^2-2)^2 > \Delta = k^4-6k^2+4k-3 > (k^2 -4)^2$
nên $\Delta = (k^2-3)^2 \Rightarrow k=3$.
Thay $k=3$ vào (1) giải ra ta được $a= 1$ (loại) hoặc $ a=7 \Rightarrow p=19$.

Vậy $p=19 , a=7$ là nghiệm của bài toán.