Chủ đề này có 5 trả lời

[DinhCuongTk14]

Bài 4: Tìm tất cả các hàm f: $(0, +\infty ) \to (0, +\infty)$ sao cho

$ \dfrac{(f(w))^{2}+(f(x))^{2}}{f(y^{2})+f(z^{2})} = \dfrac{w^{2}+x^{2}}{y^{2}+z^{2}} $

với mọi số thực dương $w,x,y,z$ mà $wx=yz.$

[tanlsth]

Thay $x=y=z=w=1$ ta có $f(1)=1$.Thay $z=w=1$ ta được $f(x^2)=f^2(x)$
Thay $y=z=t,w=1,x=t^2$ thì ta được $f(x)=x$ hoặc $f(x)=\dfrac{1}{x}$
Nhận thấy $2$ hàm này thỏa mãn bài toán.
Nếu xảy ra trường hợp tồn tại $a,b \neq 1$ sao cho $f(a)=a,f(b)=\dfrac{1}{b}$
Thay $x=a,w=b,y=1,z=ab$ vào ta sẽ có điều vô lí.
Vậy có $2$ hàm thỏa mãn bài toán.

[tanlsth]

Lấy $x=y=z=w$ .Thu được $f(x)^2=f(x^2)$=>$f(1)=1$
Lấy $w=z=s;y=1,z=s^2 $ <=>$(f(s)-s)(s.f(s)-1)=0$
=>$f(s)=s;f(s)=\dfrac{1}{s}$
Thử lại thỏa

Còn xét trường hợp nó là hàm hợp nữa mà bạn.Vả lại 2 cách trên giống hệt nhau mà .

[Allnames]

Dạ đúng là 2 cách giống nhau ,mà bài này quả thực là hơi dẽ so với tầm 1 kì thi IMO
Cho em nêu 1 bài tương tự (khó hơn đó ạ ) để mọi người làm vui(em sưu tầm)Tìm các đa thức $P_1(x),P_2(x),P_3(x),P_4(x)$,thỏa mãn nếu $xy-zt=1$ thì $P_1(x)P_2(y)-P_3(z),P_4(t)=1$

[KhùngLãoQuái]

Nếu $x,y,z,t \in C$ đề bài này sai .
Nếu $x,y,z,t $ không thuộc $C$
Dễ CM:$P_1(0)=P_2(0)=P_3(0)=P_4(0)$
=>$P_2(x)=\dfrac{1}{P_1( \dfrac{1}{x})} $
=>$P_4(t)=-\dfrac{1}{P_3( \dfrac{-1}{z})} $

Đặt $xy=h$ .Xét với $h(h-1) \neq 0$
Đặt lại $P_1(x)=P(x);P_3(y)=Q(y)$
Thế vào đẳng thức ban đầu được :
$ \dfrac{P(x)}{P( \dfrac{x}{h})}+\dfrac{Q(y)}{Q( \dfrac{y}{1-h})}=1$
Dễ CM nếu $h=const$ thì:
$\dfrac{P(x)}{P( \dfrac{x}{h})}=const=p $; $\dfrac{Q(y)}{Q( \dfrac{y}{1-h})}=const=q $
=>$P(x) \equiv p.P( \dfrac{x}{h}) $
=>$P(x)=\pm x^n;p=h^n,n \in N$

=>$Q(y)=\pm y^m;q=(1-h)^m,n \in N$
NGoài ra ta có PT:$ h^n+(1-h)^m=1 $ đúng với mọi $h$
=>$n=m=1$
=>$P_1(x)=P_2(x)=\pm x$ ;$P_3(x)=P_4(x)=\pm x$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KhùngLãoQuái: 21-07-2008 - 22:18

[Allnames]

Đúng là em viết thiếu $ x,y,z,t, /in/ R$,còn anh thử làm lại xem thế nào ạ kết quả như thế là chưa chính xác đâu ạ (em có chú ý là bài này khó hơn rồi mà)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Allnames: 21-07-2008 - 19:09