Chủ đề này có 10 trả lời

[nguyen phi hung]

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn :$ x + y + z = 3 \sqrt[3]{9} $
Tìm GTNN của biểu thức :
$P = \dfrac{(3 - x)^3}{x} + \dfrac{(3 - y)^3}{y} + \dfrac{(3 - z)^3}{z}$

[KhùngLãoQuái]

Xài 1 KQ quen thuộc :Với $x+y+z>0$ thì $x^3+y^3+z^3 \ge \dfrac{1}{9}(x+y+z)^3 $

[nguyen phi hung]

bạn giải cụ thể đi chứ ,như thế mọi người sao theo dõi được ?

[KhùngLãoQuái]

.Em nhầm 1 xíu anh thông cảm .KQ trên của em chỉ đúng với $5(a+b+c)+3min(a,b,c) \ge 0$ .
CM:
Đặt $3p=a+b+c>0$ .
Giả sử $c=min(a,b,c)$ thì điều kiện tương đương với $c \ge -5p$
$a^3+b^3+c^3 \ge 2( \dfrac{3p-c}{2})^3+ c^3=\dfrac{3}{4}(5p+c)(-c+p)^2+3p^3 \ge 3p^3 $
Áp dụng trực tiếp vào bài cũng được nhưng xài chebysev trước chắc trông sẽ đẹp hơn
Ta có :$ \sum (3-x)+5min(3-x,3-y,3-z) \ge 54-24.\sqrt[3]{9} >0 $
$P \ge \dfrac{1}{3}( \sum \dfrac{1}{x})( \sum (3-x)^3 ) \ge 9\sqrt[3]{3}(\sqrt[3]{3}-1)^3 $

[onlylove_math]

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn :$ x + y + z = 3 \sqrt[3]{9} $
Tìm GTNN của biểu thức :
$P = \dfrac{(3 - x)^3}{x} + \dfrac{(3 - y)^3}{y} + \dfrac{(3 - z)^3}{z}$

$P = \sum \dfrac{(3 - x)^3}{x} = \sum \dfrac{(3 - x)^4}{x(3-x)} \ge\ \dfrac{((3 - x)^2+(3 - y)^2+(3 - z)^2)^2}{3(x+y+z)-(x^2+y^2+z^2)}$
$ P \ge\ \dfrac{[\dfrac{1}{3} (9-(x+y+z))^2]^2}{3(x+y+z)-\dfrac{1}{3} (x+y+z)^2} = 9 \sqrt[3]{3}(\sqrt[3]{3}-1)^3 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi onlylove_math: 20-07-2008 - 12:20

[suguku]

nhầm rồi bạn ơi.cho x>3 thì 3-x<0 rồi làm sao áp dung Schwarz đc.
các hệ số dưới của schawrz dều phải không âm mà

[onlylove_math]

nhầm rồi bạn ơi.cho x>3 thì 3-x<0 rồi làm sao áp dung Schwarz đc.
các hệ số dưới của schawrz dều phải không âm mà

uhm thế thì phải chia thành 2 TH : TH1 : $a;b;c \le\ 3$

TH2 : $a>3$ và $b;c< 3\sqrt[3]{9}-3$ . Cái này ko biết thế nào vì mình chưa thử

[nguyen phi hung]

chưa rõ lắm .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyen phi hung: 20-07-2008 - 15:50

[KhùngLãoQuái]

.Thì em xài với $a+b+c>0; 5(a+b+c)+3min(a,b,c) \ge 0$ thì $a^3+b^3+c^3 \ge \dfrac{1}{9} (a+b+c)^3 $
Mà anh

[nguyen phi hung]

hì vậy thì đúng rồi đấy . Cách khá hay đấy! Anh vẫn còn một cách khá ngắn gọn chẳng phải sử dụng BDT nào , chỉ dùng một kết quả thôi .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyen phi hung: 20-07-2008 - 15:48

[nguyen phi hung]

Sử dụng cái này :
$\dfrac{(3 - x)^3}{x} \geq (9 - 5 \sqrt[3]{9})x + 21\sqrt[3]{3} - 27$
$ \Leftrightarrow (x - \sqrt[3]{9})^2(3\sqrt[3]{9} - x) \geq 0$