Chủ đề này có 5 trả lời

[L_Euler]

Tính tổng vô hạn

$S = 1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{7} + ....... + \dfrac{1}{{4k + 1}} - ..........$

biết đáp số là $\dfrac{\pi }{4}$ nhưng chẳng biết giải kiểu gì, chán!

P/S: Chẳng bik biểu diễn kiểu gì nữa, chán! Các bạn thông cảm nha!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L_Euler: 23-07-2008 - 21:05

[DinhCuongTk14]

Anh có cách kô phổ thông lắm nè ^^
Theo khai triển Taylor thì :
$\dfrac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+....+(-1)^{k}x^{2k}+...$
Lấy nguyên hàm của $\dfrac{1}{1+x^2}$ được $arctgx+C'$
Nên :
$arctgx+C=x-\dfrac{x^3}{3}+...+(-1)^{k}\dfrac{x^{2k+1}}{2k+1}+....$
chọn $x=0 ->C=0$
Do đó : $arctgx=x-\dfrac{x^3}{3}+...+(-1)^{k}\dfrac{x^{2k+1}}{2k+1}+....$
Đến đây chọn $x=1$
thì $\dfrac{\pi}{4}=1 -\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-....$

[L_Euler]

Thanks ông anh!

Anh gợi ý cho em CM cái Công thức tổng quát với, too problem!

P/S: Em xin phép hỏi thử mấy anh chị Toán NKTP 04-07 nhé, sax, mỗi tội ..... diễn đàn NKTP bị lỗi!

[L_Euler]

Trưa nay đột nhiên nhớ ra cái CT tổng CSN lùi vô hạn, em thay thì thấy cái CT

$\dfrac{1}{{1 + x^2 }} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + ................ + ( - x^2 )^k + .........$ chỉ đúng với x thỏa mãn $\left| x \right| < 1$, VD nếu thay $x = 1$ thì thấy ngay VT = 1/2, vế phải chắc chắn là số nguyên thì thấy ko đúng nữa! Cái CT đóa có cần đk gì không, anh giúp em với!

[tanlsth]

Dùng giới hạn cho $x \to 1$ mà em.

[L_Euler]

Thêm 1 bài nì nữa. em vẫn chưa ra:

CMR: $1 + \dfrac{1}{{2^4 }} + \dfrac{1}{{3^4 }} + \dfrac{1}{{4^4 }} + ... = \dfrac{{\pi ^4 }}{{90}}$.

Thank you very much!