Chủ đề này có 2 trả lời

[lucky_luke]

Chứng minh với mọi tam giác ABC, ta đều có:
sinAsinBsinC sin($ {(A+3B)}/{4} $) sin($ {(B+3C)}/{4} $) sin($ {(C+3A)}/{4} $)

Cho tam giác ABC,tìm giá tri nhỏ nhất của biểu thức:
M= $1/(2+cos 2A) +1/(2 +cos 2B)+ 1/(2-cos 2C)$

[anh_offline]

Áp dụng hàm lồi nhé bạn.MÌnh làm thế này:Chú ý là sin các góc đều dương nên:
$ \sqrt[4]{sinA.sinB.sinB.sinB} $ $ \dfrac{sinA+sinB+sinB+sinB+sinB}{4} $(theo BĐT Cauchy ) sin$ \dfrac{A+3B}{4} $(theo BĐT hàm lồi)
$ \sqrt[4]{sinB.sinC.sinC.sinC} $ $ \dfrac{sinB+sinC+sinC+sinC+sinC}{4} $ sin$ \dfrac{B+3C}{4} $
$ \sqrt[4]{sinC.sinA.sinA.sinA} $ $ \dfrac{sinC+sinC+sinC+sinC+sinC}{4} $ sin$ \dfrac{C+3A}{4} $
NHân vế với vế 3 BĐT trên ta có đcpcm
Đẳng thức có khi và chỉ khi tam giác đều

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh_offline: 06-08-2008 - 21:04

[anh_offline]

Vì 2+cos2A,2+cos2B,2-cos2C nên áp dụng BĐT Schwarz ta có
M=$ \dfrac{1}{2+cos2A} $+$ \dfrac{1}{2+cos2B} $+$ \dfrac{1}{2-cos2C} $ $ \dfrac{9}{6+cos2A+cos2B-cos2C} $
Mặt khác ta có:
T=6+cos2A+cos2B-cos2C
=6+2cos(A+B)cos(A-B)-cos2C
=6-2cosC.cos(A-B)+1-2$ cos^{2}C $
Suy ra:2$ cos^{2}C $+2cosC.cos(A-B)+T-7=0
Xét ' =$ cos^{2}(A-B) $-2(T-7)
PT có nghiệm suy ra ' 0 T 7+$ \dfrac{1}{2} $.$ cos^{2}(A-B) $ 7+$ \dfrac{1}{2} $=$ \dfrac{15}{2} $
Vậy M 9/T 6/5
Dấu đẳng thức A=B=30,C=120

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh_offline: 06-08-2008 - 18:02