5 replies to this topic

[tronghieu]

Cho$ \sigma _k (n) = \sum\limits_{\left. d \right|n} {d^k } $ hay là tổng các lũy thừa bậc k của các ước dương của n.
Tìm $ \sigma _k (n)$ nếu biết $n = \prod\limits_{i = 1}^m {p_i ^{c_i } } $

[Songohan]

Ta đã biết
$\sigma _1 (n) = \sum\limits_{d|n} d = \prod\limits_{i = 1}^m {\dfrac{{p_i ^{c_i + 1} - 1}}{{p_i - 1}}} $

Sau đó tính $\sigma _2,\sigma _3,..,\sigma _k$ theo kiểu truy hồi.

[tronghieu]

Ta đã biết
$\sigma _1 (n) = \sum\limits_{d|n} d = \prod\limits_{i = 1}^m {\dfrac{{p_i ^{c_i + 1} - 1}}{{p_i - 1}}} $

Sau đó tính $\sigma _2,\sigma _3,..,\sigma _k$ theo kiểu truy hồi.

thực ra em post bài này để mọi người giải giúp bài oán sau
Bài Toán: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho
$\phi (n) + \sigma (n) = 2n$

[Mashimaru]

Thật ra thì với mọi số nguyên dương $n$, ta luôn có bất đẳng thức: $\sigma\(n\)+\varphi\(n\)\geq 2n$ và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $n$ là một số nguyên tố.

Híc, em ham giải lắm nhưng mà mai phải thi TOEFL iBT rồi >.< Thi xong về nếu còn sống em sẽ post ạ

Edited by Mashimaru, 08-08-2008 - 09:45.

[Songohan]

$\phi$ là hàm Euler ($\varphi$) à.
Vậy làm theo Mashimaru và chú ý
$\sigma (n) + \varphi (n) = (n + 1) + (n - 1) = 2n$ với n nguyên tố
và $\sigma (n),\varphi (n)$ là 2 hàm nhân tính là xong.
Khúc còn lại chỉ là biến đổi tương đương.

[Primes]

Cho$ \sigma _k (n) = \sum\limits_{\left. d \right|n} {d^k } $ hay là tổng các lũy thừa bậc k của các ước dương của n.
Tìm $ \sigma _k (n)$ nếu biết $n = \prod\limits_{i = 1}^m {p_i ^{c_i } } $

Hàm $\sigma_k(n)$ là hàm nhân tính nên chỉ cần tính $\sigma_k(p^a)$ là được

Edited by Primes, 09-08-2008 - 20:51.