Chủ đề này có 1 trả lời

[DinhCuongTk14]

Cho hàm số $f(x)=\dfrac{e^x}{(x+1)^2}$.Xét dãy $u_n$ được xác định như sau : $u_{0}=1; u_{n+1}=f(u_n)$ với mọi n nguyên dương.
1.Cmr : phương trình $f(x)=x $ có 1 nghiệm duy nhất $a \in(\dfrac{1}{2};1)$
2.Cmr : $u_{n}$ thuộc $[\dfrac{1}{2};1]$ với mọi n nguyên dương.
3.Cmr: $f'(x)$ tăng trên $[\dfrac{1}{2};1]$ suy ra tồn tại số $k \in(0;1)$ sao cho $|u_{n+1}-a|=k|u_{n}-a|$.
4.Cmr :$lim_{n->+\infty}u_n =a$

[tanlsth]

1/. Cần chứng minh phương trình $f(x)=e^x-x(x+1)^2$ có duy nhất nghiệm trên $[\dfrac{1}{2},1]$

Dễ thấy phương trình có nghiệm vì $f(\dfrac{1}{2})f(1)<0$

Giả sử nó có nhiều hơn $2$ nghiệm thì $f'(x)$ có ít nhất một nghiệm tức $e^x-3x^2-4x-1=0$ có nghiệm

Lại có $e^x<e, 3x^2+4x+1>\dfrac{3}{4}+3>e$ nên phương trình vô nghiệm (vô lí)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

2/.Dễ chứng minh được $e^x<(x+1)^2 ,\forall x \in [\dfrac{1}{2},1], 2e^x>2(x+1)>1+2x+x^2=(x+1)^2, \forall x \in [\dfrac{1}{2},1]$

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

3/.Ta có $f'(x)=\dfrac{e^x(x-1)}{(x+1)^3}, f^{"}(x)=\dfrac{e^x(x^2-2x+3)}{(x+1)^4}>0$ nên ta có $f'(x)$ tăng trên $[\dfrac{1}{2},1]$

Suy ra $f'(\dfrac{1}{2})<f'(x)<f'(1)=0$ suy ra $|f'(x)|<|f'(\dfrac{1}{2})|=r<1$

Từ đó $|u_{n+1}-a|=|f(u_n)-f(a)|=|f'(p)||u_n-a|=k|u_n-a|<r|u_n-a|, k \in (0,1)$

Suy ra $|u_{n+1}-a|<r^n|u_1-a| \to \lim u_n=a$