Chủ đề này có 3 trả lời

[DinhCuongTk14]

Với mọi $n$ nguyên dương.Đặt $ I_{n}=\int\limits_{0}^{1} x^n ln(1+x^2)dx$
1.Tính

$lim_{n->+\infty}u_n$

2.Giả sử $c \in (0;1)$ .Đặt $A_n = \int\limits_{0}^{c} x^n ln(1+x^2)$, $B_n= \int\limits_{c}^{1} x^n ln(1+x^2)dx$.
Cmr :

$ lim \dfrac{A_n}{B_n}=0$

[DinhCuongTk14]

Bài 1 :
Ta luôn có $ln(1+x^2) \leq ln2 \forall x\in [0;1]$
nên : $0 \leq \int\limits_{0}^{1} x^nln(1+x^2) \leq ln2 \int\limits_{0}^{1}x^n $
Nên l$im I_{n}=0$

Bài 2
Với $x \in [0;c]$ thì $ln(1+x^2) \leq ln(1+c^2)$
Nên : $\int\limits_{0}^{c} x^n ln(1+x^2) dx\leq ln(1+c^2) \int\limits_{0}^{c}x^n dx $
và với $ x \in (c;1)$ thì $ln(1+x^2) \geq ln(1+c^2)$
Do đó : $ \int\limits_{c}^{1}x^nln(1+x^2) dx \geq ln(1+c^2) \int\limits_{c}^{1} x^n dx$
Từ đây :
=>$lim \dfrac{A_n}{B_n}=0$

[tuandaihiep]

anh oi , em van ko hieu ro lam phan cuoi bai 2,anh co the giai ki hon duoc ko?

[DinhCuongTk14]

anh oi , em van ko hieu ro lam phan cuoi bai 2,anh co the giai ki hon duoc ko?

Thế này em à
Rõ ràng $\dfrac{A_n}{B_n} \geq 0 $
Mà từ 2 cái BDT trên thì :
$\dfrac{A_n}{B_n} \leq \dfrac{ \int\limits_{0}^{c} x^n dx}{ \int\limits_{1}^{c}x^n dx }$
$=\dfrac{\dfrac{c^{n+1}}{n+1}}{\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{c^n}{n+1}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{c^{n+1}-1}$
Do $<0<c <1$
nên $ lim \dfrac{1}{\dfrac{1}{c^{n+1}}-1} =0$
Còn vấn đề gì em cứ hỏi thoải mái kô phải ngại gì đâu em nhé