Chủ đề này có 3 trả lời

[DinhCuongTk14]

Cho hàm số $f: [0,\infty)\to\mathbb{R}$ liên tục thỏa mãn :
$|f(x) - f(y)|\leq |x - y|,\forall x,y\geq 0.$
Cmr :

$\int_{a}^{b} f(x)dx\leq bf(b) + \dfrac {b^{2}}{2} - af(a) - \dfrac {a^{2}}{2},\forall a, b\in[0,\infty), a < b.$

[FOOL90]

Lời giải
Ta có $\int\limits_{a}^{b} [f(x) - f(b) ]dx \leq \int\limits_{a}^{b} |f(x)-f(b)| dx \leq \int\limits_{a}^{b} |x-b| dx$
$= \int\limits_{a}^{b} (b-x) dx = b(b-a) + \dfrac{a^2}{2} - \dfrac{b^2}{2} $

Nên $\int\limits_{a}^{b} f(x)dx \leq b(b-a) + \dfrac{a^2}{2} - \dfrac{b^2}{2} + f(b) .b- f(b) .a = \dfrac{b^2}{2} + \dfrac{a^2}{2} -ab + f(b).b - f(b).a $

Ta có$ \dfrac{a^2}{2} -ab -f(b).a \leq -af(a) -\dfrac{a^2}{2}$ (1)

$\Leftrightarrow 0 \leq a(f(b)-f(a)+ b-a) $ .
Đúng vì $|f(b)-f(a)| \leq | b-a| = b-a$ nên $a-b \leq f(b)-f(a)$ nên $0 \leq a(f(b)-f(a)+ b-a) )$

Từ (1) thế vào ta có điều phải chứng minh ./

[kiemkhachvotinh]

Từ giả thiết suy ra
$f'(x)\ge -1$suy ra
$f(x)\le f(x)+x+xf'(x) $Vậy
$\int_a^b f(x)dx\le \int_a^b f(x)+x+xf'(x)dx=bf(b)-af(a)+\dfrac{b^2}{2}-\dfrac{a^2}{2}$
Ta có đpcm

[tanlsth]

Từ giả thiết suy ra
$f'(x)\ge -1$suy ra
$f(x)\le f(x)+x+xf'(x) $Vậy
$\int_a^b f(x)dx\le \int_a^b f(x)+x+xf'(x)dx=bf(b)-af(a)+\dfrac{b^2}{2}-\dfrac{a^2}{2}$
Ta có đpcm

Sai rồi em ạ . Hàm này chắc gì đã tồn tại đạo hàm hả em.Đi thi thế này cũng chết dở thật