Chủ đề này có 3 trả lời

[tqnst]

Ký hiệu $R^+$ là tập các số thực dương.Giả sử $f$:$R^+$$->$$R^+$ là 1 hàm số liên tục thỏa mãn $f(f(x))$=$\sqrt[5]{(x+1)^5 +1}$.Chứng minh rằng:
1.Nếu $f(x_1)$=$f(x_2)$ thì $x_1$=$x_2$
2.Hàm số $f(x)$ đơn điệu tăng và :
$Lim \dfrac{f(x+1)}{f(x)} $=1
$x->+ \infty $

[tanlsth]

Sử dụng kết quả nếu $f(x)$ đơn ánh và liên tục thì đơn điệu trên miền xác định

Thật vậy,nếu $f(x)$ đơn ánh và liên tục trên $R^{+}$ và không đơn điệu khi đó tồn tại $x>y>z$ sao cho $f(x)>f(y),f(z)>f(y)$

Khi đó xét hàm $G(t)=f(tx+(1-t)y)-f(ty+(1-t)z)$ trên $[0,1]$

Ta có $G(0)=f(y)-f(z)<0$
$G(1)=f(x)-f(y)>0$ nên tồn tại $m$ sao cho $G(m)=0$ hay $f(mx+(1-m)y)=f(my+(1-m)z)$

Do $f$ đơn ánh nên $mx+(1-m)y=my+(1-m)z \to m(x-y)=(1-m)(z-y)$

Dễ thấy đẳng thức vô lí vì vế âm và vế dương

Vậy ta có điều phải chứng minh.Áp dụng bài toán suy ra $f$ đơn điệu tăng vì hàm vế phải tăng

Câu tính giới hạn thì đơn giản rồi

[FOOL90]

a) Nếu tồn tại $x_1 ,x_2$ sao cho $f(x_1)= f(x_2)$ thì $f(f(x_1))=f(f(x_2)) $
$\Rightarrow \sqrt[5]{(x_1+1)^5 +1} =\sqrt[5]{(x_2+1)^5 +1}$
Dễ thấy $ \sqrt[5]{(x+1)^5 +1} $là hàm tăng. Nên $x_1 = x_2$.

b) Do $f$ là đơn ánh, liên tục nên nó là hàm đơn điệu.
Giả sử $f $ là hàm đơn điệu giảm.
Nx1. Tồn tại $x_0$ sao cho $f(x_0) < x_0$.
Giả sử $f(x)=y>x$ với mọi $x \in R^+$ , do f là hảm giảm nên $f(f(x))=f(y) <f(x)=y \Rightarrow f(y) <y$. vô lí.
nên Nx1 đúng.
Nx2. Tồn tại $x_1$ sao cho $f(x_1) >x_1$.
Cm tương tự.
Do đó từ 2 nx1 và nx2 tồn tại $x_2$ sao cho $f(x_2)=x_2$.
$\Rightarrow f(f(x_2)) =f(x_2) =x_2$ mà $f(f(x_2) )=\sqrt[5]{(x_2+1)^5 +1} >(x_2+1)$ .
nên $x_2>x_2 +1$ .Vô lí.
Do đó $f$ ko là đơn điệu giảm. nên nó là đơn điệu tăng.
lại có:
$1< \dfrac{f(x+1)}{f(x)} < \dfrac{f(\sqrt[5]{(x+1)^5 +1})}{f(x)} = \dfrac{f(f(f(x))} {f(x)} =\dfrac{\sqrt[5]{(f(x)+1)^5 +1}} {f(x)}$
Đưa $x $ra $+\infty$. Ta có $lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x+1)}{f(x)} =1$.
dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi FOOL90: 14-08-2008 - 22:28

[DinhCuongTk14]

Câu 1 như Tân nói đó
câu 2 Cm được $x \leq f(x) \leq f(f(x)) $
nên lim cái đó =1