Chủ đề này có 4 trả lời

[Mashimaru]

Trong mặt phẳng, cho $S$ là một tập hợp điểm sao cho trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Với mỗi $P$ là một đa giác lồi có các đỉnh lấy từ $S$, ta gọi $f\(P\)$ là số đỉnh của $P$ và $g\(P\)$ là số điểm nằm trong tập $S$ và không thuộc miền trong của $P$.

Chứng minh rằng $\forall x\in\mathbb{R}$ ta đều có đẳng thức: $\sum_{P} x^{f\(P\)}\(1-x\)^{g\(P\)}=1$

[DinhCuongTk14]

Bài này anh nghĩ có lẽ nên dùng quy nạp
Giả sử kết luận của ta đúng với mọi hệ $< n $ điểm trong mặt phẳng
Xét 1 hệ n điểm $S $với bao lồi $ H$ nào đó có m điểm lần lượt là $P_1 ,P_2 ,...P_m$
Ta kí hiệu $Q_{i_1,i_2,..i_k}(1 \leq k \leq m) $ là tập tất cả đa giác có các đỉnh thuộc hệ điểm S và không chứa bất kì các đỉnh $P_{i_1},..P_{i_k}$
Trong hệ điểm $S$\$\{P_{i_1},..P_{i_k}}$ theo quy nạp thì
Ta có :$\sum\limits_{P\in Q_{i_1,i_2,..i_k}}x^{f(P)}.(1-x)^{g(P)}=1$
Trong hệ điểm S thì các đa giác P thuộc còn có thêm k điểm nằm ngoài nên nếu xét trong hệ điểm S thì :

$\sum\limits_{P\in Q_{i_1,i_2,..i_k}}x^{f(P)}.(1-x)^{g(P)}=(1-x)^k$
Theo định lý PIE thì :
số đa giác được tạo thành từ hệ n điểm S kô tính bao lồi H là
$(-1)^{k-1} \sum\limits_{k=1}^{m} |Q_{i_{1},..i_{k}}|$
( do $ Q_{i_{1},..i_{t},i_{t+1},..i_{k}} \cap Q_{i_{1},..i_{t},i'_{t+1},..i'_{k}}=Q_{i_{1},..i_{t},i_{t+1},...i_{k},i'_{t+1}},..i'_{k}$ với i$_{t+1},..i_k$ đôi một khác $i'_{t+1},..i'_{k}$ )

Do đó :
$\sum\limits_{P \neq H}x^{a(P)}(1-x)^{b(P)}= \sum\limits_{i=1}^{k} (-1)^{k-1}{m \choose k}(1-x)^k=1-x^m$(do có ${m \choose k} $ cách chọn k điểm trong m điểm thuộc bao lồi đã cho )
Xét thêm đa giác lồi H thì $ x^{a(H)}(1-x)^{b(H)} =x^m$
Từ đây ta có đpcm

[Mashimaru]

Vâng, lời giải của anh DinhCuongTk14 là hoàn toàn đúng ạ.

Bài toán trên được trích từ IMO Shortlist 2006 bởi...thầy em ạ, ác thiệt

[Mashimaru]

À, sẵn tiện anh DinhCuongTk14 xem giúp em bài này, anh post đấy, ko biết em giải trường hợp riêng có đúng ko, còn trường hợp tổng quát thì sao ạ? http://diendantoanho...showtopic=40999

[gadget]

Chú có thể xem hình như Brasil MO 2005 thì phải search trên mathlinks ấy