Chủ đề này có 1 trả lời

[mrvuive]

Mình có bài toán đang cần giải gấp mong mọi người giải đáp giùm:
Một nhóm Abel được gọi là bất khả quy nếu nó không phân tích được thành tổng trực tiếp của 2 nhóm con thực sự. Chứng minh rằng:
a) Nhóm cộng $Z_p$ là bất khả quy khi và chỉ khi p là số nguyên tố.
b) nhóm cộng các số nguyên Z là bất khả quy.
(Bài này là đề thi cao học Viện toán 1999).
Cảm ơn trước nhé![/size][/size]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mrvuive: 17-08-2008 - 16:18

[toanA37]

Giả sử A và B là hai nhóm con của G. Khi đó G được gọi là phân tích được nếu $G \simeq A\times B$
1. Ta có $Z_{mn} \simeq Z_{m}\times Z_{n} \leftrightarrow (m, n) =1$.
+ nếu p là nguyên tố thì $Z_{p}$ không có nhóm con thực sự. Do đó $Z_{p}$ là bất khả quy.
+ Giả sử G bất khả quy và p không nguyên tố. Khi đó p có hai ước thực sự là m và n thỏa mãn: (m, n) = 1 và mn = p. Do đó $Z_{mn} \simeq Z_{m}\times Z_{n}$. Mâu thuẫn.
2. Chứng minh tương tự: giả sử $ Z \simeq A\times B \rightarrow A \cap B ={0}$. Do A và B là nhóm con của G nên A = mZ, B = nZ. Ta có $Z = nZ + mZ$ nhưng $mn \in A \cap B \Rightarrow A \cap B \neq {0} $. mâu thuẫn. Vậy Z là bất khả quy.