7 replies to this topic

[toanA37]

Mình có hai bài này không giải quyết được!!!
1 Cho E là một không gian metric, F là không gian banach. Chứng minh rằng nếu f bị chặn địa phương trên mọi tập compăc của E thì f bị chặn địa phương trên E.
$2$. Gọi E kà không gian các đa thức có bậc không quá n trên [0, 1]. Chứng minh hai chuẩn sau là tương đương.
$||f||_{1} = sup\{|f(t)|: t \in [0, 1]\}$
$||f||_{2} = \int \limits_{0}^{1}|f(t)|dt$

Edited by toanA37, 17-08-2008 - 21:50.

[toanA37]

Bài 2: Tự lực vận động vẫn tốt!!!
Gọi E kà không gian các đa thức có bậc không quá n trên [0, 1]. Chứng minh hai chuẩn sau là tương đương.
$||f||_{1} = sup\{|f(t)|: t \in [0, 1]\}$
$||f||_{2} = \int \limits_{0}^{1}|f(t)|dt$

Dễ thấy $||.||_{1} \geq ||.||_{2}$
Vì E là hữu hạn chiều nên mặt cầu đóng $K = \{x \in E \| ||x||_{1} =1\}$ là compac. Xét ánh xạ $f: E \rightarrow R, f(x) = ||x||_{2}$. Do đó f(x) liên tục trên K và đạt giá trị nhỏ nhất $\alpha >0 $. Khi đó với mọi $x \in E \Rightarrow y = \dfrac{x}{||x||_{1}} \in K $ do đó $f(y) \geq \alpha >0 \Rightarrow \dfrac{||x||_{2}}{||x||_{1}} \geq \alpha \Rightarrow ||x||_{2} \geq \alpha||x||_{1}$.
Vậy hai chuẩn là tương đương

Edited by toanA37, 19-08-2008 - 15:04.

[toanA37]

Bài 1: Ta chứng minh phản chứng.
Giả sử f bị chăn địa phương trên mọi tập compac và tồn tại một điểm $x_{0} \in E$ sao cho f không bị chặn trên mọi lân cận của $x_{0} \in E$.
Chọn một dãy $x_{n}\rightarrow x_{0}, f(x_{n}) \geq n \forall n $. Khi đó tập ${x_{0}. x_{1}, ....}$ là một tập compac. Do đó f bị chặn trên A. Vô lý.
Do đó f bị chặn địa phương trên E.

Edited by toanA37, 19-08-2008 - 15:15.

[ngoctrong37]

theo mình nghĩ trên không gian hữu hạn chiều thì mọi chuẩn đều tương đương.Nói chung không gian Rn có gì thì các không gian hữu hạn chiều đều có cái đó.Do đó hai chuẩn trên tương đương là tự nhiên thôi.

[toanA37]

theo mình nghĩ trên không gian hữu hạn chiều thì mọi chuẩn đều tương đương.Nói chung không gian Rn có gì thì các không gian hữu hạn chiều đều có cái đó.Do đó hai chuẩn trên tương đương là tự nhiên thôi.

Nếu dùng định lý các chuẩn trên không gian hữu hạn chiều đều tương đương thì bài toán là quá đơn giản.
Ở đây ta chứng minh trực tiếp. Ngoài ra còn có thể chứng minh theo 2 cách khác nữa theo hướng chỉ ra hai không gian đó là đồng phôi!

[malo87]

Bài 2 mình thấy quen quen. Hình như là đề thi cao học quốc tế bên SP phải không bạn??

[toanA37]

Bài 2 mình thấy quen quen. Hình như là đề thi cao học quốc tế bên SP phải không bạn??

đúng rồi đấy malo87 a! thế chắc malo đã xem hết đề đó rồi phải không? thấy thế nào?

[malo87]

Mình thấy nhìn chung thì không khó! Đối với những người học toán lý thuyết thì chắc làm được nhưng các bạn bên khối kĩ thuật chắc là cảm thấy khó. Nhưng mà còn phỏng vấn nữa mà? Phần này chắc là khó. Không biết các thầy sẽ hỏi thế nào.