Chủ đề này có 3 trả lời

[DinhCuongTk14]

I .Các bài toán bất đẳng thức tích phân :

1.Cmr : Với $0 < a < b$ bất kì thì ta có :
$1 - \dfrac {b^2\ln (a + 1) - a^2\ln (b + 1)}{ab(b - a)} <\int_0^1\left[\ln (ax + 1)\ln (bx + 1)\right]\ \mathrm {dx} < \dfrac {ab}{3}\$

2.Cho $f: [0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ là hàm tăng
. Cmr : $\forall x\in(0,1) $ thì : $x\int_{0}^{1}f(t)dt\leq\int_{0}^{x}f(t)dt.$

3.Cho : $f: [0,1]\to [0,\infty)$ và liên tục trên $[0,1].$ .Đặt $g(x) = 1 + 2\int_{0}^{x}f(t)dt $ Giả sử rằng
$g(x)\geq f^{2}(x)\forall x\in [0,1]. $
Cmr :

$g(x)\leq (1 + x)^{2}\forall x\in [0,1].$

4.Cho $f(x) $và $g(x)$ là 2 hàm liên tục trên$ [0;1]$
Cmr :

$(\int_{0}^{1}f(x).g(x)dx)^{2}\leq\int_{0}^{1}f(x)^{2}dx.\int_{0}^{1}g(x)^{2}dx$

5,Cmr :

$\int_{0}^{1}e^{x^{2}}dx \leq \dfrac {3e}{5}$

6.Cho $P(x)$ là đa thức bậc $n$ lẻ và $P\geq 0 $ trên $[a,b] , $
Cmr : $\dfrac {1}{b - a}\int_{a}^{b}P(x)\; dx \ge \dfrac{8}{(n + 1)(n + 3)}.\cdot \dfrac {P(a) + P(b)}{2}$

[tuandaihiep]

Bài 2:

Ta có :
$ \int\limits_{0}^{x} f(t)dt \leq \int\limits_{0}^{x} f(x)dt = f(x).x$

$\int\limits_{x}^{1} f(t)dt \geq \int\limits_{x}^{1} f(x)dt = (1-x)f(x)$

Từ đó ta suy ra

$\dfrac{1}{x} . \int\limits_{0}^{x} f(t)dt \leq \dfrac{1}{1-x} \int\limits_{x}^{1} f(t)dt \Rightarrow \int\limits_{0}^{x} f(t)dt (1-x) \leq x \int\limits_{x}^{1} f(t)dt$

Suy ra đpcm

[tex] \int\limits_{0}^{x}  f(t)dt  \leq   \int\limits_{0}^{x}  f(x)dx = f(x).x[/tex]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanlsth: 22-08-2008 - 10:58
Chèn thẻ TEX vào dòng lệnh và thêm dấu \ em ạ

[tuandaihiep]

anh ơi sao dùng kí hiệu ở đây khó thế ? lam` sao moi' dung duoc day
VD tich phan tu` 0 den 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuandaihiep: 22-08-2008 - 10:51

[tientthegioi]

1.Cmr : Với $0 < a < b$ bất kì thì ta có :
$1 - \dfrac {b^2\ln (a + 1) - a^2\ln (b + 1)}{ab(b - a)} <\int_0^1\left[\ln (ax + 1)\ln (bx + 1)\right]\ \mathrm {dx} < \dfrac {ab}{3}\$
CM BD bên phải:
Ta có: $ln(ax+1) \leq ax $với mọi $ x \geq 0$ ( chứng minh bằng xét hàm)
Do đó :$ \int_0^1\left[\ln (ax + 1)\ln (bx + 1)\right] \leq \int\limits_{0}^{1} abx^2 = \dfrac{ab}{3}$