Chủ đề này có 3 trả lời

[DinhCuongTk14]

Cho $f: [0,\infty)\to\mathbb{R}$ liên tục và $ \lim_{x\to\infty}f(x) = L $ .
Cmr : $\forall a > 0$

$\lim_{n\to + \infty}\int_{0}^{a}f(nx)\,\mathrm{d}x = aL$

[FOOL90]

lời giải
Do ${Lim} \limits_{x \to \infty } f(x) = L$ nên với mọi $\varepsilon$ thì $\exist N_{\varepsilon}$ sao cho $\forall x>N_{\varepsilon}$ thì $f(x) \in (L - \varepsilon , L+ \varepsilon )$
Lấy n đủ lớn sao cho $N__{\varepsilon} <na$
Ta có
$\int\limits_{0}^{a} f(nx) dx = \int\limits_{0}^{\dfrac{N_{\varepsilon}}{n}} f(nx) dx + \int\limits_{\dfrac{N_{\varepsilon}}{n}}^{a} f(nx)dx $
$\in ( \int\limits_{0}^{\dfrac{N_{\varepsilon}}{n}} f(nx) dx + (a-\dfrac{N_{\varepsilon}}{n} ) (L- \varepsilon) , \int\limits_{0}^{\dfrac{N_{\varepsilon}}{n}} f(nx) dx +(a-\dfrac{N_{\varepsilon}}{n} )(L+ \varepsilon) ) $ với mọi $n > N__{\varepsilon}/a$

Khi $n \to \infty$ thì$ \dfrac{N_{\varepsilon}}{n} \to 0$ nên $lim \int\limits_{0}^{\dfrac{N_{\varepsilon}}{n}} f(nx) dx =0$
do vậy $\int\limits_{0}^{a} f(nx) dx \in ( a(L- \varepsilon) , a(L+\varepsilon) )$ với n đủ lớn.
Từ đây ta có kết luận : $Lim\limits_{n \to +\infty} \int\limits_{0}^{a} f(nx) dx = aL$

[tanlsth]

Bài này còn một cách khác là đổi biến $t=nx$ sau đó dùng L'Hospital cũng cho ta kết quả như thế.

[Euclid]

Hình như cả Topic có mỗi Bạn Fool90 là hăng hái nhỉ ! Mình thì hok có được học các dạng Toán này nên mình ko tham gia thi TN