Cho $g$ là hàm xác định trên $[a,b]$ với các tính chất sau :
i) Nếu $x\in[a,b]$ thì $g(x)\in[a,b]$ .
ii) $g'$ liên tục trên $ [a,b] $ .
iii) $\forall x\in[a,b], |g'(x) |< 1$.
1) Cmr: $x = g(x)$ có đúng 1 nghiệm trong $[a,b]$ .
2)Cmr rằng nếu điều kiện i) không thỏa mãn thì phương trình $x = g(x)$ có thể kô có nghiệm trong $ [a,b]$
Hàm liên tục
Bắt đầu bởi DinhCuongTk14, 28-08-2008 - 20:19
#2
Đã gửi 30-08-2008 - 13:13
FOOL90
-
- Thành viên
-
- 628 Bài viết
Thiếu úy
Lời giải
1) Xét $t(x) = g(x) - x$
$t$ liên lục , $t(a) \leq 0 , t(b) \geq 0,$ nên tồn tại $t(k) =0$ hay tồn tại x sao cho $x=g(x)$
Giả sử có m,n thỏa mãn x=g(x)
khi đó $m-n =g(m)-g(n)$ . Theo định lí Role tồn tại $p \in [m,n] $sao cho $g'(p) =\dfrac{g(m) -g(n) } { m-n} = 1$ trái với iii)
Vậy $x=g(x) $có đúng 1 nghiệm trong $[a,b]$
2) Xét $g(x) = \dfrac{1}{2} x + b -\dfrac{a}{2} $
có TGT là $[b, b+\dfrac{b-a}{2} ] $ không thỏa mãn i)
$g(x) =x \Leftrightarrow x= 2b-a > b $
Bài toán được giải quyết
1) Xét $t(x) = g(x) - x$
$t$ liên lục , $t(a) \leq 0 , t(b) \geq 0,$ nên tồn tại $t(k) =0$ hay tồn tại x sao cho $x=g(x)$
Giả sử có m,n thỏa mãn x=g(x)
khi đó $m-n =g(m)-g(n)$ . Theo định lí Role tồn tại $p \in [m,n] $sao cho $g'(p) =\dfrac{g(m) -g(n) } { m-n} = 1$ trái với iii)
Vậy $x=g(x) $có đúng 1 nghiệm trong $[a,b]$
2) Xét $g(x) = \dfrac{1}{2} x + b -\dfrac{a}{2} $
có TGT là $[b, b+\dfrac{b-a}{2} ] $ không thỏa mãn i)
$g(x) =x \Leftrightarrow x= 2b-a > b $
Bài toán được giải quyết
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi FOOL90: 30-08-2008 - 13:15
Take it easy
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
