Chủ đề này có 3 trả lời

[kiemkhachvotinh]

Cho f(x) khả vi 2 lần trên $(0 ;+ \infty ) $$\lim_{x--> \infty }f(x)=0$ và $|f"(x)|\le 1$ với mọi x dương CMR $\lim_{x--> \infty }f'(x)=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kiemkhachvotinh: 31-08-2008 - 10:31

[FOOL90]

Lời giải
Qui ước: Nếu không nói thêm thì $lim f(x)$ nghĩa là ${lim}\limits_{x \to +\infty} f(x)$

Với mọi $x,y> 0$ tồn tại $z$ sao cho $\dfrac{f'(x) - f'(y) }{x-y} = f"(z)$ nên $|f'(x) -f'(y)| \leq |x-y|$

Do $lim f(x)= 0$ nên với mọi $\varepsilon >0$ ,tồn tại $a$ sao cho $\forall x \geq a |f(x)| < \varepsilon$
Xét dãy $(x_n)$ với $x_0 = a, x_n= a+ n. \sqrt{2 \varepsilon} $.
Ta có tồn tại $z_n \in (x_n , x_{n+1})$ sao cho $|f'(z_n)| = |\dfrac{f(x_n) - f(x_{n+1}) }{x_n - x_{n+1} }| < \sqrt{2. \varepsilon}$
Xét $z$ bất kì trong $(x_n , x_{n+1} )$ ta có $|f'(z) - f'(z_n)| \leq |z- z_n| \leq \sqrt{2\varepsilon}$
Ta có $|f'(z)| \leq |f'(z) - f'(z_n)| + |f'(z_n)| \leq 2. \sqrt{2.\varepsilon} \ \ \forall z \in (x_n, x_{n+1} )$
Do đó $|f'(x)| \leq 2.\sqrt{2.\varepsilon}\ \ \forall x \geq a.$
do vậy $lim f'(x) =0$
Đpcm.

[tuandaihiep]

khả vi là cái gì vậy các anh ơi

[gadget]

khả vi là cái gì vậy các anh ơi

Tương đương với có đạo hàm