Bài này là đề Taiwan 2001 cũ mèm rồi
Dùng phản chứng nhé :
giả sử $(m,n)=1 \Rightarrow (5^m-1;5^n-1)=5^1-1=4 $
Biểu diễn$ 5^m-1=2^a.p_1^{m_1}...p_k^{m_k}$
từ đây ta có được $\phi(5^m-1)=5^n-1=2^{a-1}p_1^{m_1-1}(p_1-1)....p_k^{m_k-1}(p_k-1)$
Nên $m_i=1$
Đến đây bạn có thể chứng minh được rằng m bắt buộc phải lẻ.
Dễ chứng minh $ 5^m-1$ không thể có dạng lũy thừa của 2 được nên $k\leq1$(tức $5^m-1$ có ước nguyên tố lẻ )
Nếu m chẵn thì $5^m-1$ và $5^n-1$ đều chia hết cho 8 vô lí với
Với $m$ lẻ $m=2k+1$ ta sẽ có được a=2 .mặt khác do $5^m-1=5^{2k}.5 \equiv 1 (mod p_i)$ nên 5 là số chính phương $mod p_i$
dùng luật tương hỗ Gauss ta đi tới $p_i$ là số chính phương mod 5.
nên $p_i \in \{0;1;-1} (mod 5)$
$p_i$ không thể chia hết cho 5 được và nếu tồn tại i để $5|p_i-1$ thì $p_i-1|5^n-1 $ nên $5|5^n-1$ vô lí .
do đó $p_i \equiv -1 (mod 5)$
$ \Rightarrow 5^m-1 \equiv 4.(-1)^k \equiv (-1)^{k+1} (mod 5) \Rightarrow k$ chẵn.
Với k chẵn :
$5^n-1 =2.(p_1-1)..(p_k-1) \equiv 2(-2)^k $ do k chẵn nên $5^n-1$ đồng dư 2 hoặc -2 mod 5
Vô lí
Vậy ta có đpcm
Bài này công nhận hay thật
check hộ lời giải cho mình nhé.Lâu mới có thời gian làm toán thú vị như hôm nay.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gadget: 19-09-2008 - 20:49
