Định lí wilson đây mà
Phát biểu đúng là : " $p$ là số nguyên tố $\Leftrightarrow \left ( p-1 \right )!+1\equiv 0 \left ( mod p \right )$"
Phần đảo thì đơn giản, ta sẽ chứng minh phần thuận
Xét p nguyên tố
Với $p=2$ thì hiển nhiên 1!+1 chia hết cho 2
$p=3 thì 2!+1$ chia hết cho 3
Nếu $p> 3$
Xét tập $A=\left \{ 2;3;...;p-2 \right \}$
Với mỗi k thuộc A thì tồn tại duy nhất k' (0<k'<p) sao cho $kk'\equiv 1\left ( modp \right )$
Thật vậy do $\left \{ 0;1;...;p-1 \right \}$ là HDĐ (mod p) nên $\left \{ k0;k1;...;k(p-1 )\right \}$ cũng là HDĐ (mod p) nên tồn tại duy nhất 1 phần tử (dạng kk') sao cho $kk'\equiv 1(modp)$
Để chứng minh k' thuộc A ta chứng minh $k'\neq 1 và k'\neq p-1$
Nếu k'=1 thì k =1 (mod p) vô lí vì k thuộc A
Nếu k'=p-1 thì k =-1 (mod p) vô lí vì k thuộc A
Nếu k=k' thì $k^{2}\equiv 1\left ( modp \right )\Rightarrow \left ( k-1 \right )\left ( k+1 \right )\equiv 1\left ( modp \right )\Rightarrow k=1 hoặc k=p-1 vô lí vì k thuộc A$
Từ các điều trên ta suy ra tập A được chia thành $\frac{p-3}{2}$ cặp (k;k') với kk'=1 ( mod p)
Hay $2.3.4...\left ( p-3 \right )\left ( p-2 \right )\equiv 1\left ( modp \right )\Rightarrow \left ( p-1 \right )!\equiv p-1\left ( modp \right )\Rightarrow \left ( p-1 \right )!+1\equiv p\equiv 0(modp)$
Vậy (p-1)!+1 chia hết cho p (đpcm)