Vòng 1 (180')
Câu 1 (2đ): Giải hệ phương trình:
$|y|=|x-3|$
$(2\sqrt{z}+2-y)y=1+4y$
$x^2+z-4x=0$
Câu 2 (3đ)
Cho số nguyên a.CMR phương trình $x^4-7x^3+(a+2)x^2-11x+a=0$ ko thể có nhiều hơn 1 nghiệm nguyên
Câu 3 (3đ)
Cho dãy số thực $\{x_n}$ đc xác định bởi:$x_0=1,x_{n+1}=2+\sqrt{x_n}-2\sqrt{1+\sqrt{x_n}} \foral n \in N$
Ta xác định dãy $\{y_n}$ bởi công thức $y_n= \sum\limits_{i=1}^{n}x_i.2^i,\forall n \in N^*$.Tìm CTTQ của dãy $\{y_n}$
Câu 4 (3đ)
Cho các số nguyên a,b,c khác 0 thoả mãn:
$\left\{\begin{array}{l}\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+ \dfrac{c}{a} \in Z\\ \dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b} \in Z\end{array}\right$.
CMR: $\dfrac{3a^4}{b^2}+\dfrac{2b^4}{c^2}+\dfrac{c^4}{a^2}-4|a|-3|b|-2|c| \ge 0$
Câu 5 (3đ)
Trong mp toạ độ Oxy cho 9 điểm có toạ độ là các số nguyên,trong đó ko có 3 điểm nào thẳng hàng.CMR tồn tại ít nhất 1 tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 9 điểm trên có diện tích là 1 số chẵn
Câu 6 (3đ)
Cho 2 đường tròn $(O)$ và $(O')$ tiếp xúc trong tại điểm $K$,($(O')$ nằm trong $(O)$).Điểm$ A$ nằm trên $(O) $sao cho 3 điểm $A,O,O'$ ko thẳng hàng.Các tiếp tuyến $AD$ và $AE$ của $(O')$ cắt $(O)$ lần lượt tại $B $và $C$ ($D,E$ là các tiếp điểm).Đường thẳng $AO' $cắt $(O)$ tại $F$.Chứng minh rằng các đường thẳng $BC,DE,FK$ đồng quy
Câu 7 (3đ)
Cho $n \ge 2,n \in N$.Kí hiệu$ A=\{1,2,...,n}$.Tập con B của tập A đc gọi là 1 tập "tốt" nếu B khác rỗng và trung bình cộng của các phần tử của B là 1 số nguyên.Gọi $T_n$ là số các tập tốt của tập A.CMR $T_n-n$ là 1 số chẵn
==============
Vòng 2 (180')
Câu 1 (2đ)
Giải phương trình: $16x^3-24x^2+12x-3=\sqrt[3]{x}$
Câu 2 (3đ)
Tìm tất cả các số nguyên $a,b,c$ thoả mãn điều kiện $1<a<b<c$ và $abc$ chia hết cho $(a-1)(b-1)(c-1)$
Câu 3 (3đ)
Cho $a,b,c,x,y,z $là các số thực thay đổi thoả mãn $(x+y)c-(a+b)z=\sqrt{6}$.Tìm GTNN của biểu thức:
$F=a^2+b^2+c^2+x^2+y^2+z^2+ax+by+cz$
Câu 4 (3đ)
Tìm tất cả các hàm $f: R \rightarrow R$ sao cho:
$f(x+cos(2009y))=f(x)+2009cos(f(y)), \forall x,y \in R$
Câu 5 (3đ)
Cho tam giác $ABC$ thay đổi.Gọi$ H$ là trực tâm,$O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp và $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$.Xác định GTNN của số $k$ sao cho $\dfrac{OH}{R} < k$
Câu 6 (3đ)
Cho $ABCD$ là tứ giác nội tiếp.$M$ và$ N$ là các điểm lần lượt thay đổi trên các cạnh $AB$ và $CD$ sao cho $\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{NC}{ND}$.Điểm$ P$ thay đổi trên đoạn thẳng $MN$ sao cho$ \dfrac{PM}{PN}=\dfrac{AB}{CD}$.CMR tỷ số diện tích của 2 tam giác$ PAD$ và $PBC$ ko phụ thuộc vào vị trí của $M$ và $N$
Câu 7 (3đ)
Gọi S là tập hợp các số nguyên dương đồng thời thoả mãn 2 điều kiện sau:
1.Tồn tại 2 phần tử $x,y \in S$ sao cho $(x,y)=1$
2.Với bất kỳ $a,b \in S$ thì $a+b \in S$
Gọi $T$ là tập hợp tất cả các số nguyên dương ko thuộc $S$.CMR số phần tử của$ T$ là hữu hạn và ko nhỏ hơn $\sqrt{s(T)}$,trong đó $s(T)$ là tổng các phần tử của tập $T$ (nếu $T= \phi$ thì $s(T)=0$)
Đề thi chính thức 2 ngày theo thứ tự là như thế này