Cho A,B là ma trận vuông đối xứng cấp n có các trị riêng đều dương
Cmr: A+B cũng có các trị riêng đều dương
he he,bài này thầy kêu dễ mà ...
các bác làm thử nha
#1
Đã gửi 25-12-2008 - 21:46
2007vmo
-
- Thành viên
-
- 19 Bài viết
Binh nhì
ZARATHUSTRA đã nói như thế (NIETZSCHE)
#2
Đã gửi 26-12-2008 - 00:17
tanlsth
-
- Hiệp sỹ
-
- 1428 Bài viết
Tiến Sĩ Diễn Đàn Toán
Lâu lắm không đụng mấy thứ này. Có thể làm như sau
Do $A$ đối xứng nên tồn tại ma trận khả nghịch $P$ sao cho $C=P^tAP$ là ma trận đường chéo có các phần tử dương
Khi đó với mỗi $x \in M_{1.n}$ luôn tồn tại $y \in M_{1.n}$ sao cho $x=yP^t.$
Lại có với mọi $y \in M_{1.n}$ thì $yCy^t>0$ nên suy ra $xAx^t>0 $ với mọi $x \in M_{1.n}$
Tương tự $xBx^t>0$ với mọi $x \in M_{1.n}$
Giả sử tồn tại một trị riêng của $A+B$ không dương thì khi đó tồn tại $x \in M_{1.n}$ sao cho $x(A+B)x^t \leq 0$. Điều này mâu thuẫn với điều chứng minh ở trên.
Bài toán được chứng minh
Do $A$ đối xứng nên tồn tại ma trận khả nghịch $P$ sao cho $C=P^tAP$ là ma trận đường chéo có các phần tử dương
Khi đó với mỗi $x \in M_{1.n}$ luôn tồn tại $y \in M_{1.n}$ sao cho $x=yP^t.$
Lại có với mọi $y \in M_{1.n}$ thì $yCy^t>0$ nên suy ra $xAx^t>0 $ với mọi $x \in M_{1.n}$
Tương tự $xBx^t>0$ với mọi $x \in M_{1.n}$
Giả sử tồn tại một trị riêng của $A+B$ không dương thì khi đó tồn tại $x \in M_{1.n}$ sao cho $x(A+B)x^t \leq 0$. Điều này mâu thuẫn với điều chứng minh ở trên.
Bài toán được chứng minh
- okbabi yêu thích
Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
