Chủ đề này có 2 trả lời

[supermember]

Bài Toán :

Chứng minh rằng với mọi số dương $ a , b $ thỏa mãn : $ a \ > \ b $

Tồn tại số nguyên dương $n$ có tính chất :

$ b \ < \ \dfrac{ \varphi(n+2)}{ \varphi(n)} \ < \ a $

[VAMPIRE_TRAM]

Bài Toán :

Chứng minh rằng với mọi số dương $ a , b $ thỏa mãn : $ a \ > \ b $

Tồn tại số nguyên dương $n$ có tính chất :

$ b \ < \ \dfrac{ \varphi(n+2)}{ \varphi(n)} \ < \ a $

Anh Tân đi Nhật rồi anh ạ !chắc 1 thời gian nưa anh ấy mới online!

[FOOL90]

Supermember này ! Mình thắc mắc 1 điều là bài trên liệu có lời giải không nhỉ( và nếu có thì liệu đó có phải là lời giải của 1 nhà toán học nào đó).

Sở dĩ mình nói vậy bởi vì : Bài toán trên tương đương với bài toán : Chứng minh $\dfrac {\phi(n+2)}{\phi(n)}$ trù mật trên R+.

Có 1 bài toán khá nổi tiếng gần giống như trên là : Chứng minh $\dfrac{\phi(n+1)}{\phi(n)}$ trù mật trên R+
Đặt nền móng cho bài toán này là chứng minh của Somayajulu(năm 1950):
$lim {sup}\limits_{n \to +\infty} \dfrac{\phi(n+1)}{\phi(n)}= +\infty $
$lim {inf}\limits_{n \to +\infty} \dfrac{\phi(n+1)}{\phi(n)}= 0$
Đến 1954 thì Schizel và Sierpinsky mới chứng minh được bài toán , đồng thời chứng minh được bài toán:
Với mọi $m,k \geq 1$. Tồn tại $n,h \geq 1$ thỏa mãn: $\dfrac{\phi(n+i)}{\phi(n+i-1)} >m ; \dfrac{\phi(h+i-1)}{\phi(h+1)} >m $
với mọi $i=1,2...k$