Dưới đây là một số tính chất và bài toán
Ta gọi các số nguyên chia hết cho 2 là số chẵn, còn số nguyên không chia hết cho 2 là số lẻ
Tính chất:
1.Tổng hoặc hiệu một số chẵn và một số lẻ là một số lẻ
2.Tổng hoặc hiệu hai số chẵn hoặc hai số lẻ là một số chẵn
3.Tích các số lẻ là một số lẻ
4.Tích các số, trong đó có ít nhất một số chẵn là một số chẵn
5.Trong 2 số nguyên liên tiếp thì có một số lẻ và một số chẵn
Nhìn chung kiến thức lý thuyết đơn giản, nhưng vận dụng nó là cả một vấn đề. Hãy xét một số dạng toán sau
Tính chẵn lẻ trong các bài toán về chia hết
VD1:Cho bảy số nguyên $a_1,a_2,...a_7$, viết các số nguyên đó theo một thứ tự khác được $b_1.b_2,...b_7$. Chứng mình rằng tích số $(a_1-b_1)(a_2-b_2)...(a_7-b_7)$ chia hết cho 2
Giải:
Đặt $c_1=a_1-b_1$ với i=1,2,3,4,5,6,7. Ta có:
$c_1+c_2+...+c_7=(a_1-b_1)+(a_2-b_2)...+(a_7-b_7)=(a_1+a_2+...+a_7)-(b_1+b_2+...+b_7)=0$
Theo các tính chất 1,2 thì trong các số $c_1,c_2,...c_7$ pahỉ có ít nhất một số chẵn, lại theo tính chất 4 thì tích $c_1,c_2,...,c_7$ phải là một số chẵn =>đpcm
VD2: Số $3^n+2003$ trong đó n là số nguyên dương có chia hết cho 184 không?
Giải
Ta thấy 184=8.23 và $3^{2m}-1$ $3^2-1=8$
Xét các trường hợp
Nếu n=2m chẵn, thì $3^{2m}+2003=3^{2m}-1+250.8+4$ không chia hết cho 8
Nếu n=2m+1 lẻ thì ta có $3^{2m+1}+2003=3(3^{2m-1})$ không chia hết cho 8
Vậy với mọi số nguyên dương n thì số $3^n+2003$ đều không chia hết cho 184
Đây là một số bài tập luyện tập ở dạng này
Cho bộ số nguyên pytago x,y,z. Chứng minh rằng x.y.z 60
Tính chẵn lẻ với các phương trình nghiệm nguyên
VD3:
Giải phương trình nghiệm nguyên dương $x^2-2y^2=5$
Giải:
Từ phương trình (PT) suy ra $x^2$ lẻ nên $x=2n+1$ lẻ, thay vào PT được $2n^2+2n-y^2=2(*)$=>y chẵn. Đặt y=2m thay vào , ta có $n(n+1)-2m^2=1$. Vế trái chẵn mà về phải lẻ =>mâu thuẫn. Vậy,PT đã cho vô nghiệm
BT luyện tập
Chứng minh rằng không có các số nguyên x,y,z nào thỏa mãn điều kiện $19^x+5^y+1980z=1975^{4^{30}}=1993$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Nam: 29-06-2009 - 17:12