Cho số thực a thỏa mãn $0<a<1$. Chứng minh rằng $a^a+(1-a)^{1-a} \ge \sqrt{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L_Euler: 21-05-2009 - 22:02
BDT khó!
Bắt đầu bởi nxq2705, 21-05-2009 - 21:47
#1
Đã gửi 21-05-2009 - 21:47
nxq2705
-
- Thành viên
-
- 13 Bài viết
Binh nhì
Mình có bài này mới gặp, mọi người thử xem có làm được không nhé!
Cho số thực a thỏa mãn $0<a<1$. Chứng minh rằng $a^a+(1-a)^{1-a} \ge \sqrt{2}$
Cho số thực a thỏa mãn $0<a<1$. Chứng minh rằng $a^a+(1-a)^{1-a} \ge \sqrt{2}$
#2
Đã gửi 21-05-2009 - 23:06
phuchung
-
- Hiệp sỹ
-
- 422 Bài viết
Sĩ quan
Xét hàm $f(x)=x^x$ trên khoảng $(0,1)$
$f''(x)=x^
\dfrac{1}{x}+(lnx+1)^2)>0$ $\forall x\in(0,1)$
Theo bất đẳng thức Jensen:
$f(a)+f(1-a) \geq 2f(\dfrac{a+1-a}{2})=2({\dfrac{1}{2})}^{\dfrac{1}{2}}=\sqrt{2}$
$f''(x)=x^
\dfrac{1}{x}+(lnx+1)^2)>0$ $\forall x\in(0,1)$Theo bất đẳng thức Jensen:
$f(a)+f(1-a) \geq 2f(\dfrac{a+1-a}{2})=2({\dfrac{1}{2})}^{\dfrac{1}{2}}=\sqrt{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuchung: 21-05-2009 - 23:07
Maths makes me happy
#3
Đã gửi 23-05-2009 - 11:06
nxq2705
-
- Thành viên
-
- 13 Bài viết
Binh nhì
Xét hàm $f(x)=x^x$ trên khoảng $(0,1)$
$f''(x)=x^\dfrac{1}{x}+(lnx+1)^2)>0$ $\forall x\in(0,1)$
Theo bất đẳng thức Jensen:
$f(a)+f(1-a) \geq 2f(\dfrac{a+1-a}{2})=2({\dfrac{1}{2})}^{\dfrac{1}{2}}=\sqrt{2}$
Cách này rất nhanh và chính xác! Nhưng cũng là cách duy nhất mà mình bít! Bạn nào có cách nào sơ cấp hơn thì post lên nhé!
#4
Đã gửi 23-05-2009 - 17:25
hklinh
-
- Thành viên
-
- 1 Bài viết
Lính mới
Bạn thử dùng bddt cauchy mở rộng thử.
ONLY ONE LOVE
#5
Đã gửi 23-05-2009 - 20:05
meocon_123
-
- Thành viên
-
- 47 Bài viết
Binh nhất
Thế thì đâu gọi là sơ cấpBạn thử dùng bddt cauchy mở rộng thử.
Điều chế
PTPU vi rút cúm gà
PTPU vi rút cúm lợn
PTPU vi rút cúm gà
*** Cannot compile formula:
t^{o},p,xt
*** Error message:
Error: Nothing to show, formula is empty
*** Cannot compile formula:
5H_{2}+N_{2} ------> 2H_{5}N_{1}
*** Error message:
Error: Nothing to show, formula is empty
PTPU vi rút cúm lợn
*** Cannot compile formula:
t^{o},p,xt
*** Error message:
Error: Nothing to show, formula is empty
*** Cannot compile formula:
H_{2}+N_{2} ------> 2H_{1}N_{1}
*** Error message:
Error: Nothing to show, formula is empty
#6
Đã gửi 23-05-2009 - 21:42
phuchung
-
- Hiệp sỹ
-
- 422 Bài viết
Sĩ quan
Có 1 cách khác là xét hàm $f(x)=lnx-x+1$
Lập bảng biến thiên thì $f(x)\leq0$ với $x>0$
từ đó $af(\dfrac{1}{2a})+(1-a)f(\dfrac{1}{2(1-a)}) \leq 0$
thay vào thì có
$ln(\dfrac{1}{2a})^a+ln(\dfrac{1}{2(1-a)})^{1-a} \leq 0$
suy ra $-ln(2^{a+1-a}a^a(1-a)^{(1-a)}) \leq 0$
nên: $a^a(1-a)^{1-a} \geq \dfrac{1}{2}$
Giờ thì Cauchy là ra điều phải chứng minh
Lập bảng biến thiên thì $f(x)\leq0$ với $x>0$
từ đó $af(\dfrac{1}{2a})+(1-a)f(\dfrac{1}{2(1-a)}) \leq 0$
thay vào thì có
$ln(\dfrac{1}{2a})^a+ln(\dfrac{1}{2(1-a)})^{1-a} \leq 0$
suy ra $-ln(2^{a+1-a}a^a(1-a)^{(1-a)}) \leq 0$
nên: $a^a(1-a)^{1-a} \geq \dfrac{1}{2}$
Giờ thì Cauchy là ra điều phải chứng minh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuchung: 23-05-2009 - 21:43
Maths makes me happy
#7
Đã gửi 24-05-2009 - 08:41
Toanlc_gift
-
- Hiệp sỹ
-
- 315 Bài viết
Sĩ quan
sử dụng bernulii thì có gọi là sơ cấp hok nhể
=.=
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
