2 replies to this topic

[euler]

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh là $a$
Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng có 2 đầu nằm trên hai đường thẳng $AB'$ và $BC'$ đồng thời hợp với mặt phẳng $ABCD$ một góc $60^o$

[PSW]

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại hơn nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng cho bài toán này

Hoa hồng hi vọng sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng (hoặc phủ định đúng) được bài toán này. Nếu hết ngày 27/12 mà vẫn không có ai giải được hoặc phủ định được bài toán này, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này

Edited by PSW, 25-01-2014 - 11:51.

[chanhquocnghiem]

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh là $a$
Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng có 2 đầu nằm trên hai đường thẳng $AB'$ và $BC'$ đồng thời hợp với mặt phẳng $ABCD$ một góc $60^o$

Gọi $M_{0},N_{0}$ lần lượt là hình chiếu của $M,N$ trên $(ABCD)$.

Đặt $\overrightarrow{M_{0}M}=m.\overrightarrow{AA'}$ ; $\overrightarrow{N_{0}N}=n.\overrightarrow{AA'}$ ($m,n\in \mathbb{R}$)

Ta có : $tan(MN,(ABCD))=\frac{\left | m-n \right |.a}{M_{0}N_{0}}=\frac{\left | m-n \right |.a}{\sqrt{(a-ma)^2+(na)^2}}=\frac{\left | m-n \right |}{\sqrt{(1-m)^2+n^2}}$

$(MN,(ABCD))=60^o\Leftrightarrow \frac{\left | m-n \right |}{\sqrt{(1-m)^2+n^2}}=\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow 2n^2+2mn+(2m^2-6m+3)=0$ (1)

(1) có nghiệm khi và chỉ khi $-3m^2+12m-6=6-3(m-2)^2\geqslant 0\Leftrightarrow 2-\sqrt{2}\leqslant m\leqslant 2+\sqrt{2}$ (2)

Khi đó (1) có các nghiệm là $n_{1}=\frac{-m+\sqrt{6-3(m-2)^2}}{2}$ ; $n_{2}=\frac{-m-\sqrt{6-3(m-2)^2}}{2}$

$\Rightarrow \left | m-n_{1} \right |=\left | \frac{3m-\sqrt{6-3(m-2)^2}}{2} \right |$ ; $\left | m-n_{2} \right |=\left | \frac{3m+\sqrt{6-3(m-2)^2}}{2} \right |$

Chú ý rằng $MN$ đạt GTNN $\Leftrightarrow M_{0}N_{0}$ đạt GTNN $\Leftrightarrow \left | m-n \right |$ đạt GTNN.

Mà từ (2) suy ra $m> 0$ nên $\left | m-n \right |$ đạt GTNN $\Leftrightarrow \left | m-n_{1} \right |$ đạt GTNN hay $\left | 3m-\sqrt{6-3(m-2)^2} \right |=3m-\sqrt{6-3(m-2)^2}$ đạt GTNN

(Dễ dàng chứng minh được $3m> \sqrt{6-3(m-2)^2}\geqslant 0,\forall m\in \left [ 2-\sqrt{2};2+\sqrt{2} \right ]$)

Xét hàm $f(m)=3m-\sqrt{6-3(m-2)^2}$ trên đoạn $\left [ 2-\sqrt{2};2+\sqrt{2} \right ]$ (hàm $f(m)$ liên tục trên đoạn này)

$f'(m)=3+\frac{3(m-2)}{\sqrt{6-3(m-2)^2}}$

$f'(m)=0\Leftrightarrow \sqrt{6-3(m-2)^2}+m-2=0\Leftrightarrow m=\frac{4-\sqrt{6}}{2}$ (bỏ nghiệm lớn hơn $2$)

Vậy trên $\left [ 2-\sqrt{2};2+\sqrt{2} \right ]$, hàm $f(m)$ đạt cực trị duy nhất khi $m=\frac{4-\sqrt{6}}{2}$ và đó là cực tiểu vì dễ thấy $f'(2)> 0$ ($2> \frac{4-\sqrt{6}}{2}$)

$\Rightarrow MN_{min}=\frac{\left | m-n_{1} \right |.a}{sin60^o}=\left | m-n_{1} \right |.\frac{2}{\sqrt{3}}.a=(m\sqrt{3}-\sqrt{2-(m-2)^2}).a=[\frac{(4-\sqrt{6}).\sqrt{3}}{2}-\sqrt{2-(\frac{6}{4})}].a=2(\sqrt{3}-\sqrt{2}).a$

Edited by chanhquocnghiem, 27-12-2013 - 08:51.