Vòng 2
Bài 1:
Các số thực x, y thỏa mãn $xy \ne \pm \sqrt 2 $. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y
$P = \left( {\dfrac{{2\sqrt[3]{2}xy}}{{{x^2}{y^2} - \sqrt[3]{4}}} + \dfrac{{xy - \sqrt[3]{2}}}{{2xy + 2\sqrt[3]{2}}}} \right)\dfrac{{2xy}}{{xy + \sqrt[3]{2}}} - \dfrac{{xy}}{{xy - 2\sqrt[3]{2}}}$
BÀi 2:
a) Cho phương trình $x^2+bx+c=0$, trong đó tham số b và c thỏa mãn đẳng thức b+c=4. Tìm các giá trị của b và c để phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1=x_2^2+x_2$
b) Giả sử (x;y;z) là một nghiệm của hệ phương trình$\left\{ \begin{matrix} \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{{12}} - \dfrac{z}{4} = 1 \\ \dfrac{x}{{10}} + \dfrac{y}{5} + \dfrac{z}{3} = 1 \\ \end{matrix} \right.$.
Tính A=x+y+z
Bài 3:
Ba số nguyên dương a, p, q thỏa mãn các điều kiện sau
i) $ap+1 \vdots q$
ii) $aq+1 \vdots p$
Chứng minh $a > \dfrac{{pq}}{{2\left( {p + q} \right)}}$
BÀi 4:
Cho (O) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn (C khác A, B và trung điểm cung AB). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB. Đường tròn $(O_1)$ đường kính AH cắt CA tại E, đường tròn $(O_2)$ đường kính BH cắt CB tại F
a) Chứng minh tứ giác AEFB nội tiếp
b) Gọi $O_3$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB, D là điểm đối xứng của C qua O. Chứng minh $H, O_3, D$ thẳng hàng
c) Gọi S là giao điểm của các đường thẳng EF và AB, K là giao điểm thứ hai của SC với (O). Chứng minh KE vuông góc với KF
Bài 5:
Một hình vuông có độ dài cạnh bằng 1 được chia thành 100 hình chữ nhật có chu vi bằng nhau (hai hình chữ nhật bất kì không có điểm chung trong). Ký hiệu P là chu vi của mỗi hình chữ nhật trong 100 hình chữ nhật này
a) Hãy chỉ ra một cách chia để P=2,02
b) Hãy tìm giá trị lớn nhất của P