"Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn x(x +y +z) = 3yz. Chứng minh
$(x+y)^{3} + (x+z)^{3} +3(x+y)(x+z)(y+z)$ $ \leq$ $5(y+z)^{3} $
Giải
Chia hai vế của giả thiết cho $ x^{2}$ và bất đẳng thức cần chứng minh cho $ \ x^{3}$, đặt y/x = a, z/x = b, ta có giả thiết là 1 + a + b = 3ab (1) hay (1+a)(1+b) = 4ab và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
$ (a+1)^{3} +(b+1)^{3} + 3(a+1)(b+1)(a+b) \leq 5(a+b)^{3}$ (2)
Khai triển và thay a + b = 3ab -1, đặt t = 3ab ta có (2) tương đương :$ 4t^{3}-18t^{2}+20t-6 \geq 0$
hay là $(t-3)(t-1)(4t-2) \geq 0$. bất đẳng thức này là đúng vì từ (1) $3ab \geq 2 \sqrt{ab} +1 \Rightarrow ( \sqrt{ab} -1)( 3\sqrt{ab} +1)\geq 0 \Rightarrow ab \geq 1 \Rightarrow t \geq 3.$
Nhận xét đây là cách giải theo cách giảm dần biến số.
Dưới đây là file pdf rõ ràng hơn
File gửi kèm
-
b___t______ng_th___c_2009_copy.pdf 95.3K
521 Số lần tải
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanthien_tanphu: 06-07-2009 - 15:46
