CM: $a\sqrt{a^2+3bc}+b\sqrt{b^2+3ca}+c\sqrt{c^2+3ab} \geq 2\left%20(%20ab+bc+ca%20\right%20)$
2) Cho các số dương x,y,z thỏa mãn x+y+z+1=4xyz. CM: $xy+yz+zx\geq x+y+z$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vannamdn: 07-07-2009 - 21:07
Bất đẳng thức
Bắt đầu bởi vannamdn, 07-07-2009 - 21:06
#1
Đã gửi 07-07-2009 - 21:06
vannamdn
-
- Thành viên
-
- 30 Bài viết
Binh nhất
1) Cho a,b,c là các số dương.
CM: $a\sqrt{a^2+3bc}+b\sqrt{b^2+3ca}+c\sqrt{c^2+3ab} \geq 2\left%20(%20ab+bc+ca%20\right%20)$
2) Cho các số dương x,y,z thỏa mãn x+y+z+1=4xyz. CM: $xy+yz+zx\geq x+y+z$
CM: $a\sqrt{a^2+3bc}+b\sqrt{b^2+3ca}+c\sqrt{c^2+3ab} \geq 2\left%20(%20ab+bc+ca%20\right%20)$
2) Cho các số dương x,y,z thỏa mãn x+y+z+1=4xyz. CM: $xy+yz+zx\geq x+y+z$
Tôi cố định trên sân trường đơn điệu
Lặng nhìn theo hình chiếu của giai nhân
#2
Đã gửi 07-07-2009 - 21:43
tuan101293
-
- Thành viên
-
- 999 Bài viết
Trung úy
Bài 2 thì bạn đặt $x=\dfrac{b+c}{2a},y,z....$ với a,b,c>0 bạn quy đồng có ngay đpcm
KT-PT
Do unto others as you would have them do unto you.
#3
Đã gửi 07-07-2009 - 22:32
huyetdao_tama
-
- Thành viên
-
- 47 Bài viết
Binh nhất
Bài 1 dũng voniar-schur. Còn cách của anh Cẩn hổng nhớ cho lắm.
#4
Đã gửi 07-07-2009 - 22:33
vanthien_tanphu
-
- Thành viên
-
- 24 Bài viết
Binh nhất
Từ giả thiết, nhân hai về cho 2 ta được 2x + 2y + 2z + 2 = 2x.2y.2z $\Rightarrow \dfrac{1}{1 + 2x} + \dfrac{1}{1 + 2y} +\dfrac{1}{1 + 2z} = 1$
Đặt $a = \dfrac{1}{1 + 2x}, b = \dfrac{1}{1 + 2y}, c = \dfrac{1}{1 + 2z}$
Suy ra $a + b + c = 1$ và $2x = \dfrac{1 - a}{a} =\dfrac{b +c}{a}\Rightarrow x = \dfrac{b + c}{2a}...$
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
$ \dfrac{(c + a)(c + b)}{4ab} +\dfrac{(a + b)(a + c)}{4bc} + \dfrac{(b + a)(b + c)}{4ac}\geq \dfrac{b + c}{2a}+\dfrac{c + a}{2b}+\dfrac{a + b}{2c}$
Qui đồng mẫu số và rút gọn ta được $ \ a^{3} +\ b^{3} +\ c^{3} + 3abc \geq \ a^{2} (b + c) +\ b^{2}(c + a) +\ c^{2}(a + b) $ Đây là bất đẳng Schur.
Đặt $a = \dfrac{1}{1 + 2x}, b = \dfrac{1}{1 + 2y}, c = \dfrac{1}{1 + 2z}$
Suy ra $a + b + c = 1$ và $2x = \dfrac{1 - a}{a} =\dfrac{b +c}{a}\Rightarrow x = \dfrac{b + c}{2a}...$
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
$ \dfrac{(c + a)(c + b)}{4ab} +\dfrac{(a + b)(a + c)}{4bc} + \dfrac{(b + a)(b + c)}{4ac}\geq \dfrac{b + c}{2a}+\dfrac{c + a}{2b}+\dfrac{a + b}{2c}$
Qui đồng mẫu số và rút gọn ta được $ \ a^{3} +\ b^{3} +\ c^{3} + 3abc \geq \ a^{2} (b + c) +\ b^{2}(c + a) +\ c^{2}(a + b) $ Đây là bất đẳng Schur.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanthien_tanphu: 08-07-2009 - 15:36
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
