Chủ đề này có 2 trả lời

[chuyentoan]

Giả sử $s_1,s_2,...$ là một dãy tăng ngặt các số nguyên dương thỏa mãn các dãy con $s_{s_1},s_{s_2},...$ và $s_{s_1+1},s_{s_2+1},...$ là các cấp số cộng. Chứng minh rằng dãy $s_1,s_2,...$ chính nó cũng là một cấp số cộng.

[phong than]

Đặt $f(n)=s_n$. Theo giả thiết ta có:
$f(f(n))=a+nd$,
$f(f(n)+1)=b+nk$.
Khi đó ta có: $f(f(n))<f(f(n)+1)\leq f(f(n+1))$.
Hay là $a+nd<b+nk\leq a+nd+d$.
Suy ra $d=k$ và $a<b\leq a+d$.
Giả sử $c=f(m+1)-f(m)=min(f(n+1)-f(n)|n\in N*)$.
Khi đó ta có:
$f(a+nd)=a+df(n)$,
$f(a+nd+1)=b+df(n)$,
$f(b+nk)=a+d(f(n)+1)$,
$f(b+nk+1)=b+d(f(n)+1)$.
Từ đây ta có: $cd=f(a+md+d)-d(a+md)\geq cd$.
Do đó $f(a+md),f(a+md+1), . . . , f(a+md+d)$ là một cấp số cộng với công sai $c$.
Tương tự $f(b+md),f(b+md+1), . . . ,f(b+md+d)$ cũng là một cấp số cộng với công sai $c$.
Vì $a<b\leq a+d$ nên $f(a+md), . . . ,f(b+md+d)$ là một cấp số cộng với công sai $c$.
Từ đó dễ thấy $d=c^2=(b-a)^2$.
Mặt khác ta lại có:
$d=f(f(n+1))-f(f(n))\geq c(f(n+1)-f(n))\geq c^2=d$, với mọi $n$.
Thành thử dãy $f(n_0),f(n_0+1), . . . $ là cấp số cộng với công sai $c$ ($n_0=f(1)$).
Ta có $a+d=f(f(1))>f(1)=n_0$.
Suy ra $f(a+d), f(a+2d), . . . $ là cấp số cộng với công sai $cd$.
Từ suy ra $f(1),f(2), . . . $ là cấp số cộng với công sai $c$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phong than: 21-07-2009 - 10:14

[dkimson]

Đặt $f(n)=s_n$. Theo giả thiết ta có:
$f(f(n))=a+nd$,
$f(f(n)+1)=b+nk$.
Khi đó ta có: $f(f(n))<f(f(n)+1)\leq f(f(n+1))$.
Hay là $a+nd<b+nk\leq a+nd+d$.
Suy ra $d=k$ và $a<b\leq a+d$.
Giả sử $c=f(m+1)-f(m)=min(f(n+1)-f(n)|n\in N*)$.
Khi đó ta có:
$f(a+nd)=a+df(n)$,
$f(a+nd+1)=b+df(n)$,
$f(b+nk)=a+d(f(n)+1)$,
$f(b+nk+1)=b+d(f(n)+1)$.
Từ đây ta có: $cd=f(a+md+d)-d(a+md)\geq cd$.
Do đó $f(a+md),f(a+md+1), . . . , f(a+md+d)$ là một cấp số cộng với công sai $c$.
Tương tự $f(b+md),f(b+md+1), . . . ,f(b+md+d)$ cũng là một cấp số cộng với công sai $c$.
Vì $a<b\leq a+d$ nên $f(a+md), . . . ,f(b+md+d)$ là một cấp số cộng với công sai $c$.
Từ đó dễ thấy $d=c^2=(b-a)^2$.

Mình nghĩ đén đây thì giải tiếp như sau
Ta có $c^2=d=s_{s_2}-s_{s_1}=s_{s_2}-s_{s_2-1}-...+s_{s_1+1}-s_{s_1} \ge (s_2-s_1)c \ge c^2$
Suy ra $s_2-s_1=c$
Tương tự ta có
$s_n-s_{n-1}=c$
Suy ra đpcm