IMO 2009 P4
#1
Posted 16-07-2009 - 20:16
#2
Posted 16-07-2009 - 20:36
Hơ hơ đề năm nay lạ thế nhỉ?mà bài hình này chỉ tính toán thuiTam giác $ABC$ cân tại $A$. Đường phân giác của các góc $\hat{CAB}$ và $\hat{ABC}$ cắt các cạnh $BC$ và $CA$ tại $D$ và $E$. Gọi $K$ là tâm nội tiếp tam giác $ADC$. Giả sử rằng $\hat{BEK}=45°$. Tìm tất cả các giá trị có thể của góc $\hat{CAB}$.
#3
Posted 16-07-2009 - 21:06
#4
Posted 16-07-2009 - 22:14
không bik là pác giáo sư nào ra đề nữa
=.=
#5
Posted 16-07-2009 - 22:18
Quan trọng là ai làm được như trong lời giải của mấy ổng mới tài. Chứ chắc tính toán thì nói lmaf gì.
2 Bài hình dễ mà bù cho bài đại với tổ hợp chứ.
http://ideahitme.wor...07/16/50th-imo/
lời giải của 3 ông đó ở here ấy.
Edited by vo thanh van, 17-07-2009 - 08:42.
#6
Posted 16-07-2009 - 22:27
ừ ,bài hình năm ngoái lời giải quá hay, rất đẹp. Năm nay huy chương bạc chắc nhiềumấy bài hình năm nay chả bù với bài hình năm ngoái
không bik là pác giáo sư nào ra đề nữa
Chẳng có gì đáng giá bằng nụ cười và tình yêu thương của bạn bè
Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
#7
Posted 17-07-2009 - 07:44
"God made the integers, all else is the work of men"
#8
Posted 17-07-2009 - 08:46
#9
Posted 17-07-2009 - 09:08
Tớ giải cụ thể xem sao:Tam giác $ABC$ cân tại $A$. Đường phân giác của các góc $\hat{CAB}$ và $\hat{ABC}$ cắt các cạnh $BC$ và $CA$ tại $D$ và $E$. Gọi $K$ là tâm nội tiếp tam giác $ADC$. Giả sử rằng $\hat{BEK}=45°$. Tìm tất cả các giá trị có thể của góc $\hat{CAB}$.
$O=BE \cap AD$.Đặt $AB=AC=b, BC=a $
TH1: $E $đối xứng với$ D $qua $CO$ khi đó $CE=CD= \dfrac{a}{2} $. ta có $ \dfrac{CE}{EA} = \dfrac{b}{a} \Rightarrow \dfrac{b-\dfrac{a}{2} }{\dfrac{a}{2}}=\dfrac{b}{a}$ dến đây suy ra $a=b$ nên $ \widehat{BAC} = 60^{0}.$
TH2: nếu ko đối xứng thì Gọi F là điểm đx với D qua CO khi đó $\widehat{OFK} = \widehat{ODK} = 45^0.$ nên tứ gíac OEFK nội tiếp, nến $ \widehat{EOK} = \widehat{KFC} = \widehat{KDC} = 45^0$ nên $45 = 90 - \dfrac{A}{2}$ nên A=90
Vậy góc A có thể là 60 hoặc 90
Chẳng có gì đáng giá bằng nụ cười và tình yêu thương của bạn bè
Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
#10
Posted 18-07-2009 - 23:44
Đặt $BC=a,AB=AC=b$, sau đó, "chỉ cần" 3 trang giấy thi với "những biến đổi đơn giản", ta thu được điều kiện cần và đủ để $\widehat{BEK}=45^o$ là:
$\dfrac{2a^2(a-b)^2(a^2-2b^2)}{(a+b)^4(2b-a)^2}\times M(a,b)=0$
Trong đó $M(a,b)$ là đa thức bậc bốn, thuần nhất theo $a,b$ và luôn dương với điều kiện $0<a<2b$.
Từ đó suy ra $\widehat{BAC}=60^o$ hoặc $\widehat{BAC}=90^o$.
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users