5 replies to this topic

[fastmather]

$\dfrac{1}{1+a^{3}}+\dfrac{1}{1+b^{3}}+\dfrac{1}{1+c^{3}}\geq \dfrac{3}{1+abc}$

Edited by fastmather, 06-08-2009 - 11:54.

[vanthien_tanphu]

$\dfrac{1}{1+a^{3}}+\dfrac{1}{1+b^{3}}+\dfrac{1}{1+c^{3}}\geq \dfrac{3}{1+abc}$

Bài toán này thiếu điều kiện, vi dụ khi a = 0, b = c = 1 thì bất đẳng thức không đúng.
Đúng ra là cho a, b, c là ba số lớn hơn hay bằng 1, Chứng minh $\dfrac{1}{1+a^{3}}+\dfrac{1}{1+b^{3}}+\dfrac{1}{1+c^{3}}\geq \dfrac{3}{1+abc}$
Trước hết ta chứng minh bài toán " Cho $ x, y \geq 1$ Chứng minh $ \dfrac{1}{1+x} +\dfrac{1}{1+x}\geq\dfrac{2}{1+ \sqrt{xy} }$
Thật vậy bất đảng thức này tương đương $ (\sqrt{xy}-1)( \sqrt{x} - \sqrt{y})^{2}\geq 0$
Do đó $ \dfrac{1}{1+a^{3}} +\dfrac{1}{1+b^{3}} +\dfrac{1}{1+c^{3}} +\dfrac{1}{1+abc}\geq\dfrac{2}{1+\sqrt{(ab)^{3}}}+\dfrac{2}{1+ \sqrt{c^{3}abc}}\geq\dfrac{4}{1+ \sqrt{\sqrt{(abc)^{4}}}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{1+a^{3}}+\dfrac{1}{1+b^{3}}+\dfrac{1}{1+c^{3}}\geq \dfrac{3}{1+abc}$

[vuthanhtu_hd]

$\dfrac{1}{1+a^{3}}+\dfrac{1}{1+b^{3}}+\dfrac{1}{1+c^{3}}\geq \dfrac{3}{1+abc}$

Tổng quát


Với $x_i>0,i=1,2,..$ ta có

$\dfrac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{1+x_i} \ge \dfrac{1}{1+(\prod\limits_{i=1}^{n} x_i)^{\dfrac{1}{n}}}$

[shinichiconan1601]

anh vũ thanh tú giỏi thiệt

[Trần Khả Nam]

Vanthien làm đúng rồi nhưng tắt quá cần khoảng 4 /5 dòng để chứng minh ý 1 của bạn

Edited by Trần Khả Nam, 09-08-2009 - 21:59.

[123455]

bài của tanphu đúng rùi Nam ạ! bạn cứ lấy VT-VP phân tích ra là được
một bài như thế viết latex khá vất vả có thể thông cảm cho tan phu được mà

Edited by 123455, 10-08-2009 - 14:46.