Chủ đề này có 5 trả lời

[đào phạm thái sơn]

Cho a,b,c là ba số không âm và a+b+c=1.C/m:
$\dfrac{ab+bc+ca}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2} \geq 8( a^2+b^2+c^2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi đào phạm thái sơn: 11-08-2009 - 10:46

[vuthanhtu_hd]

Cho a,b,c là ba số không âm và a+b+c=1.C/m:
$\dfrac{ab+bc+ca}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2} \geq a^2+b^2+c^2$

Ta có kết quả sau

$\dfrac{ab+bc+ca}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2} \geq 8(a^2+b^2+c^2)$

Bạn xem lời giải ở đây

[vuthanhtu_hd]

Và đây là bài viết về BDT này của anh hungkhtn

[đào phạm thái sơn]

Mình thì có một cách giải khác,post lên cho các bạn xem thử nhé:
Do $a+b+c=1$ nên bđt trên tương đương:
$(a+b+c)^{4} (ab+bc+ac) \geq ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} )( a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$
Mà theo BDT AM_GM ta có:
$(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca)^2 \geq 8(a^{2}+b^{2}+c^{2})(ab+bc+ca)$.
Từ đó suy ra bđt trên tương đương:
$(ab+bc+ca)^{2} \geq (a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$,nhưng BDT này tương đương với:
$abc \geq 0$ (đúng!)
dấu ''= ''xảy ra khi $a=b=\dfrac{1}{2} ;c=0$ hoặc các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 11-08-2009 - 10:52

[123455]

bạn nên đánh latex ấy để mọi người dễ theo dõi
Do a+b+c=1 nên bđt trên tương đương:
$( a+b+c)^{4} (ab+bc+ac) \ge ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} )( a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2} )$
Mà theo bđt AM_GM ta có:
$( a^{2} + b^{2} + c^{2} +2ab+2bc+2ca)^2 \ge 8( a^{2}+ b^{2} + c^{2} )(ab+bc+ca).$
Từ đó suy ra bđt trên tương đương:
$(ab+bc+ca)^{2} \ge ( a^2b^2 + b^2c^2+ a^2c^2 )$,nhưng bđt này tương đương với:
abc 0 (đúng!)
dấu = xảy ra khi $a=b= \dfrac{1}{2} ;c=0$ hoặc các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 123455: 11-08-2009 - 09:50

[123455]

bạn nên đánh latex ấy để mọi người dễ theo dõi
Do a+b+c=1 nên bđt trên tương đương:
$( a+b+c)^{4} (ab+bc+ac) \ge ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} )( a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2} )$
Mà theo bđt AM_GM ta có:
$( a^{2} + b^{2} + c^{2} +2ab+2bc+2ca)^2 \ge 8( a^{2}+ b^{2} + c^{2} )(ab+bc+ca).$
Từ đó suy ra bđt trên tương đương:
$(ab+bc+ca)^{2} \ge ( a^2b^2 + b^2c^2+ a^2c^2 )$,nhưng bđt này tương đương với:
abc 0 (đúng!)
dấu = xảy ra khi $a=b= \dfrac{1}{2} ;c=0$ hoặc các hoán vị

cách này của sơn hình như ko ổn phải là $8(ab+bc+ca)^{2} \ge ( a^2b^2 + b^2c^2+ a^2c^2 )$
mà ngay đề của bạn nữa phải là $8(a^2+b^2+c^2)$ thì mới suy ra abc 0 (đúng!)