Chủ đề này có 7 trả lời

[NO1]

Làm hộ mình bài này nha:
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn :
$f(x-f(y)) = f(f(y)) + xf(y) + f(x) -1$ $\forall x,y \in \mathbb{R}$

Thanks so much!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L_Euler: 29-08-2009 - 20:02

[mai quoc thang]

Làm hộ mình bài này nha:
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn :
$f(x-f(y)) = f(f(y)) + xf(y) + f(x) -1$ $\forall x,y \in \mathbb{R}$

Thanks so much!

Hình như nó là IMO 1940 thì phải .

Đáp số là : $ f(x)=\dfrac{-x^2}{2}+1 \ ; \ \forall x \in R $ .

[supermember]

Bài 4 năm nay có thể đáng giá là khó nhất đề , Sau đây là lời giải trong đáp án :

Ta có $ f(x - f(y)) \ = \ f(f(y)) \ + \ xf(y) \ + \ f(x) \ - \ 1 \forall x \ , \ y \in R$

Đặt $ f(0) \ = \ a$

Thay $x $ bởi $f(y) $ ta thu được :

$a \ = \ 2f(f(y)) \ + \ (f(y))^{2} \ - \ 1$

$ \Rightarrow f(f(y)) \ = \ \dfrac{-(f(y))^{2}}{2} \ + \ \dfrac{a+1}{2} \ \forall \ y \ \in \ R$

$ \Rightarrow f(f(x)) \ = \ \dfrac{-(f(x))^{2}}{2} \ + \ \dfrac{a+1}{2} \ \forall \ x \ \in \ R$$(1) $
Thay $x $ bởi $f(x) $ ta thu được :

$ f(f(x) \ - \ f(y)) \ = \ f(f(y)) \ + \ f(x)f(y) \ + \ f(f(x)) \ - \ 1$

$ \Rightarrow f(f(x) \ - \ f(y)) \ = \ \dfrac{-(f(y))^{2}}{2} \ + \ \dfrac{a+1}{2} \ + \ \dfrac{-(f(x))^{2}}{2} \ + \ \dfrac{a+1}{2} \ + \ f(x)f(y) \ - \ 1 $

$ \Rightarrow f(f(x) \ - \ f(y)) \ = \ \dfrac{-(f(x) \ - \ f(y))^{2}}{2} \ + \ a \ \forall \ x,y \ \in \ R$$ $

Do $ f(x) \ = \ 0 \ \forall \ x \ \in \ R $ không phải là $1 $ nghiệm hàm nên suy ra

$ \exists y_0 \ \in \ R \ : \ f(y_0) \ \neq \ 0 $


Thay $y$ bởi $y_0 $ ta thu được :


$ f(x - f(y_0)) \ - \ f(x) \ = \ f(f(y_0)) \ + \ xf(y_0) \ - \ 1 \forall x \ \in \ R$ $ (2)$

Khi $x $ chạy qua $ R$ thì vế phải của $ (2)$ là hàm bậc nhất theo biến $x $

( do $ f(y_0) \ \neq \ 0 $) nên có tập giá trị là $ R$ . Từ đó suy ra là :

Với mọi số thực $x $ đều tồn tại các số thực $u,v $ thỏa mãn :

$x \ = \ f(u) \ - \ f(v) $

Theo $ $ ta có :

$f(x) \ = \ f(f(u) \ - \ f(v)) \ = \ \dfrac{-(f(u) \ - \ f(v))^{2}}{2} \ + \ a $

$ \Rightarrow f(x) \ = \ \dfrac{-x^{2}}{2} \ + \ a \forall \ x \ \in \ R$

$\Rightarrow f(f(x)) \ = \ \dfrac{-(f(x))^{2}}{2} \ + \ a \forall \ x \ \in \ R $

So sánh với kết quả thu được ở $(1) $ ta được :

$a \ = \ \dfrac{a+1}{2} \Rightarrow a \ = \ 1$

$ \Rightarrow f(x) \ = \ \dfrac{-x^{2}}{2} \ + \ 1 \forall \ x \ \in \ R$

Thử lại thì hàm số này thỏa mãn bài toán nên nó cũng là nghiệm hàm duy nhất

Post bài mệt quá nè trời , huhu

Hero TVƠ

___________________________________________

P/S : giống y sách Nguyễn Trọng Tuấn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mai quoc thang: 31-08-2009 - 12:06

[ncc_3tc]

chẳng nhìn thấy gì cả . anh ơi post lại đi

[namdung]

Hình như nó là IMO 1940 thì phải .

Đáp số là : $ f(x)=\dfrac{-x^2}{2}+1 \ ; \ \forall x \in R $ .

Maiquocthang vui tính thật. IMO 1940 có khi cụ Lê Văn Thiêm tham dự à?

Bài này là bài 6 của IMO 1999. Dưới đây là một lời giải khá gọn lấy từ website của Paul Scholes.

(Solution communicated by Ong Shien Jin)

Let $ c = f(0) $ and A be the image f( R ). If a is in A, then it is straightforward to find f(a): putting a = f(y) and x = a, we get
$f(a - a) = f(a) + a^2 + f(a) - 1$, so $f(a) = (1 + c)/2 - a^2/2 $.

The next step is to show that A - A = R. Note first that c cannot be zero, for if it were, then putting y = 0, we get:
$f(x - c) = f( c ) + xc + f(x) - 1 $(**) and hence f(0) = f( c ) = 1. Contradiction. But (**) also shows that
$f(x - c) - f(x) = xc + (f( c ) - 1)$. Here x is free to vary over R, so xc + (f( c ) - 1) can take any value in R.

Thus given any x in R, we may find a, b in A such that x = a - b. Hence $f(x) = f(a - b) = f(b) + ab + f(a) - 1. $
So, using : $f(x) = c - b^2/2 + ab - a^2/2 = c - x^2/2. $

In particular, this is true for x in A. Comparing with we deduce that c = 1. So for all x in R we must have $f(x) = 1 - x^2/2 $. Finally, it is easy to check that this satisfies the original relation and hence is the unique solution.

[KhùngLãoQuái]

Maiquocthang vui tính thật. IMO 1940 có khi cụ Lê Văn Thiêm tham dự à?

Bài này là bài 6 của IMO 1999. Dưới đây là một lời giải khá gọn lấy từ website của Paul Scholes.

Thầy ơi , ông này chỉ biết đá bóng chứ làm sao biết làm Toán được ạ

Thầy có ghi nhầm không ạ , theo em thì phải là Peter Scholze mới đúng

Thầy cho em cái link vào trang này được không ạ

Mấy hôm nay thầy Dũng tham gia diễn đàn làm VMF vui hẳn . Hi vọng thầy có thêm thời gian để tiếp tục

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KhùngLãoQuái: 18-10-2009 - 19:19

[mai quoc thang]

Maiquocthang vui tính thật. IMO 1940 có khi cụ Lê Văn Thiêm tham dự à?

Bài này là bài 6 của IMO 1999. Dưới đây là một lời giải khá gọn lấy từ website của Paul Scholes.

(Solution communicated by Ong Shien Jin)

Let $ c = f(0) $ and A be the image f( R ). If a is in A, then it is straightforward to find f(a): putting a = f(y) and x = a, we get
$f(a - a) = f(a) + a^2 + f(a) - 1$, so $f(a) = (1 + c)/2 - a^2/2 $.

The next step is to show that A - A = R. Note first that c cannot be zero, for if it were, then putting y = 0, we get:
$f(x - c) = f( c ) + xc + f(x) - 1 $(**) and hence f(0) = f( c ) = 1. Contradiction. But (**) also shows that
$f(x - c) - f(x) = xc + (f( c ) - 1)$. Here x is free to vary over R, so xc + (f( c ) - 1) can take any value in R.

Thus given any x in R, we may find a, b in A such that x = a - b. Hence $f(x) = f(a - b) = f(b) + ab + f(a) - 1. $
So, using : $f(x) = c - b^2/2 + ab - a^2/2 = c - x^2/2. $

In particular, this is true for x in A. Comparing with we deduce that c = 1. So for all x in R we must have $f(x) = 1 - x^2/2 $. Finally, it is easy to check that this satisfies the original relation and hence is the unique solution.

Chắc em nhìn nhầm ạ :">

[vo thanh van]

Thầy cho em cái link vào trang này được không ạ

Em xem thêm ở đây http://www.mat.itu.e...n/isoln996.html