Chủ đề này có 1 trả lời

[nhan11]

cho tứ diện S.ABC, O là một điểm trong tam giác ABC. OA', OB', OC' lần lược là đường thẳng song song với SA, SB, SC và cắt mp(SBC),(SAC),(SAB) tại A', B', C'. tìm vị trí điểm O để OA'*OB'*OC' lớn nhất.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhan11: 04-10-2009 - 19:07

[xiahbalu]

Cách dựng A',B',C'.
AO cắt BC tại A". kẻ đường thẳng // với SA, do cùng nằm 1 mp nên nó cắt SA" tại A'.
TƯƠNG tự với B',C'.

Ta có OA'/SA=OA"/AA".
Tương tự với B',C'.Nhân vế theo vế
OA'/SA.OB'/SB.OC'/SC=OA"/AA".OB"/BB''.OC''/CC''=a.b.c.
SA,SB,SC const.
Vậy nó tích đó max khi Vế phải max.
Bây giờ chỉ xét mặt phẳng chứa tam giác ABC.

qua O kẻ đường thằng song song với BC cắt AB,AC lần lượt tại E,F.
OC"/CC"=EO/BC,OB"/BB"=OF/BC.
cộng vế theo vế =>OC"/CC"+OB"/BB"=EF/BC=AO/AA''=1-OA"/AA".
=>a+b+c=1.
dùng côsi ta cm được abc<=(a+b+c)^3/27.
vậy cái đó max khi a=b=c tức là o là trọng tâm ABC